Дана трапеция abcd. окружность походит через точки a,b и c. и пересекает сторону ad в точке f. bf = 6*sqrt(2) , угол afb = 45 градусов. так же известно что cd = 6. найдите длину ad.
Высота трапеции равна BF*sin(45°) = 6; поскольку это равно CD, то трапеция прямоугольная - СD перпендикулярно AD.
При этом фигура ABCF - равнобедренная трапеция, симметричная относительно диаметра этой окружности, перпендикулярного основаниям AD и BC.
Если провести перпендикуляр из точки B на AD - пусть это BE, то фигура EBCD - прямоугольник, который также симметричен относительно этого диаметра окружности (перпендикулярного основаниям AD и BC) - просто потому, что это перпендикуляр к BC, проходящий через его середину.
Поэтому отрезки EA и FD равны между собой, и AD = EF = BF*sin(45°) = 6
Чтобы не было трудностей с "визуализацией", полезно сразу сообразить, что AD<BC, если точка F лежит между A и D. На самом деле задачу конструировали "с конца" - взяли прямоугольник BEDC (BC > EB), провели из точки B прямую под углом в 45° к BC до пересечения с ED в точке F, на расстоянии, равном FD, от точки E отложили точку А, и через четыре точки A,B,C,F лежащие в вершинах равнобедренной трапеции, провели окружность.
Сделаем рисунок. Точку D временно не обозначаем. Соедиим С и F. Получим вписанную в окружность трапецию АВСF, которая по свойству вписанной трапеции - равнобедренная. Соединим А и С. ВF=АС по свойству диагоналей равнобедренной трапеции, и угол САF =углу ВFА=45° Проведем СЕ параллельно ВF до пересечения с продолжением АF. Угол СЕА =ВFА по свойству параллельных прямых ВF и СЕ и секущей АЕ.
Получим равнобедренный прямоугольный треугольник АСЕ с катетами, равными ВF=6√2 , т.к. углы при основании АЕ равны 45° АЕ²=2(6√2)²=2*72=144 АЕ=√144=12 Высота СН равнобедренного прямоугольного треугольника АСЕ одновременно и медиана и равна половине АЕ=12:2=6 СН=6 и совпадает с СД=6. Треугольник АДС -прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СНА=СДА=90°, а САД=45° АД=CД=6
Смешное условие :).√
Высота трапеции равна BF*sin(45°) = 6; поскольку это равно CD, то трапеция прямоугольная - СD перпендикулярно AD.
При этом фигура ABCF - равнобедренная трапеция, симметричная относительно диаметра этой окружности, перпендикулярного основаниям AD и BC.
Если провести перпендикуляр из точки B на AD - пусть это BE, то фигура EBCD - прямоугольник, который также симметричен относительно этого диаметра окружности (перпендикулярного основаниям AD и BC) - просто потому, что это перпендикуляр к BC, проходящий через его середину.
Поэтому отрезки EA и FD равны между собой, и AD = EF = BF*sin(45°) = 6
Чтобы не было трудностей с "визуализацией", полезно сразу сообразить, что AD<BC, если точка F лежит между A и D. На самом деле задачу конструировали "с конца" - взяли прямоугольник BEDC (BC > EB), провели из точки B прямую под углом в 45° к BC до пересечения с ED в точке F, на расстоянии, равном FD, от точки E отложили точку А, и через четыре точки A,B,C,F лежащие в вершинах равнобедренной трапеции, провели окружность.
Вариант решения.
Сделаем рисунок. Точку D временно не обозначаем.
Соедиим С и F.
Получим вписанную в окружность трапецию АВСF, которая по свойству вписанной трапеции - равнобедренная.
Соединим А и С.
ВF=АС по свойству диагоналей равнобедренной трапеции, и
угол САF =углу ВFА=45°
Проведем СЕ параллельно ВF до пересечения с продолжением АF.
Угол СЕА =ВFА по свойству параллельных прямых ВF и СЕ и секущей АЕ.
Получим равнобедренный прямоугольный треугольник АСЕ с катетами, равными ВF=6√2 , т.к. углы при основании АЕ равны 45°
АЕ²=2(6√2)²=2*72=144
АЕ=√144=12
Высота СН равнобедренного прямоугольного треугольника АСЕ одновременно и медиана и равна половине АЕ=12:2=6
СН=6 и совпадает с СД=6.
Треугольник АДС -прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СНА=СДА=90°, а САД=45°
АД=CД=6