Дана трапеция ABCD, основания BC и AD равны 5 см и 8 см соответственно. Выразите, если возможно: а) вектор BC через векторы AD;DA
б) вектор AB через векторы CD; AD
в) вектор AC через векторы AB и AD

Продлим стороны АВ и СД до пересечения.

Получим равносторонний треугольник АОД

Пусть его сторона равна а

Отрезки

АВ = 1

ВС = √3

СД = 2

Тогда в синем треугольнике ОВС по теореме косинусов

ВС² = ОВ² + ОС² - 2*ОВ*ОС*cos(60°)

3 = (a-1)² + (a-2)² - 2*(a-1)*(a-2)*1/2

3 = a²-2a+1 + a²-4a+4 - a²+3a-2

3 = a²-3a+3

a² - 3a = 0

a₁ = 0 - плохой корень, отбросим

a₂ = 3 - хороший корень :)

Т.е. стороны ΔОВС:

ОВ = 3-1 = 2

ОС = 3-2 = 1

ВС = √3

Треугольник прямоуголен:

2² = (√3)² + 1²

4 = 3 + 1

∠ВСО = 90°

∠ВСД = 180 - 90 = 90°

∠ОВС = 90 - 60 = 30°

∠АВС = 180 - 30 = 150°

Считаем, что "наложение ромба на сферу" означает то, что сфера изнутри касается всех 4-х сторон ромба.

Сечение сферы плоскостью ромба удалено от центра сферы на 8 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком из центра сферы к ребру ромба в точке касания R = 10 см, радиусом вписанной в ромб окружности r и высотой h = 8 см, построенной из центра ромба к центру сферы.

По Пифагору

R² = r² + h²

10² = r² + 8²

100 = r² + 64

r² = 36

r = 6 см

Если радиус вписанной в ромб окружности 6 см, то высота ромба 12 см.

Площадь ромба

S = a*h = 12,5 * 12 = 150 см²