Дано А (-2, -2,4); В (1,3, -2); С (1.4.2); при = -1 + 3k + 2 найти а) проекцию АВ на вектор ВС + 2ã

<ABE = <CBE ;  BD =CD ;  AD⊥ BE ; AD =BE =104.

BC =a ==>? , AC =b  ==>? , AB =c ==>?

Точка пересечения  AD и  BE обозначаем  через O .
Биссектриса  BO  одновременно и высота , значит ΔABD  равнобедренный (BD =AB) :
 BD =BC/2 =AB⇒BC=2AB⇔ a =2c.
CE/EA =BC/AB = 2;
EA =x ; CE=2x ; AC =b=3x .
Можно использовать формулы для  вычисления медиан и биссектрис :
a² + ( 2AD)²=2(c² +b²)        (1)  ; 
BE² =AB*BC - AE*EC       (2)  .

(2*104)² =2(c² +(3x)²) -(2c)²     * * * * *    a =2c    * * * * *
104² = c*2c - x*2x .         * * * * *  c² =x² +5408  = x² +26²*8 * * * * *  

(2*104)² =18x² -2c²  ;  
104² = -2x² +2c² .      * * * * *  суммируем    * * * * *  
(4x)² =(2*104)² +104² ;
4x =104√5;
x =26√5 .
AC =3x =3*26√5 =78√5 . 
c² =(26√5)² +26²*8 ;
c =26√13.
a =2c =52√13.
 
ответ:   BC =52√13 ; AC =78√5  ;  AB =26√5 .

Пусть AD пересекает BE в точке F. ABD - равнобедренный (т.к. BF его биссектриса и высота), т.е. AB=BD=DC=a. На продолжении прямой BA за точку A возьмем точку S, так что AB=AS, т.е. SBC - равнобедренный треугольник и BS=BC=2a. AD - его средняя линия. Пусть BG - высота треугольника SBC. Пусть FE=x. Т.к. SC=2AD, то EG=2x, значит BF=FG=3x. Отсюда BE=BF+FE=3x+x=4x=92, т.е. x=23. Т.к. AF=92/2=46, то по т. Пифагора для треугольника AFE получим . По свойству биссектрисы BE получаем EC=2AE и, следовательно, .
По т. Пифагора для треугольника ABF получим ..