Дано куб АВСDА1В1С1D1. Скількома можна знайти кут між прямими АВ1 і А1D? Якщо використати векторний метод (позначивши прямі АВ1 і А1D відповідними векторами), то якою буде величина кута між прямими АВ1 і А1D? Скористайтесь формулою знаходження кута між векторами.

Дано куб АВСDА1В1С1D1. Сколькими можно найти угол между прямыми АВ1 и А1D? Если использовать векторный метод (обозначив прямые АВ1 и А1D соответствующими векторами), то какой будет величина угла между прямыми АВ1 и А1D? Воспользуйтесь формулой нахождения угла между векторами.

Из вершины равностороннего треугольник АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если АD=1 м, ВС=8м?
                                        ***
Треугольник равносторонний, следовательно, все углы в нем равны 60º. Искомое расстояние - это отрезок DН, проведенный перпендикулярно ВС. 
DН - наклонная и ее основание Н по теореме о трех перпендикулярах совпадает с основанием высоты АН треугольника АВС, которая является проекцией наклонной DН. 
АН можно найти по т.Пифагора или с синуса 60º - результат будет одинаковым: 
АН=АС*sin 60º=(8*√3):2=4√3 
Т.к.АD - перпендикуляр, треугольник АDН - прямоугольный.  
По т.Пифагора
DН=√(AD²+AH²)=7 м 
или 
DН=√(DB²-BH²) 
ВD²=(AB²+AD²)=65 
DН=√(65-16)=√49=7м

Опустим из вершины равнобедренного треугольника к основанию высоту АН →

Высота, проведённая в равнобедренном треугольнике к основанию, является и медианой и биссектрисой
ВН = НС = 1/2 × ВС = 1/2 × 24 = 12 см

Рассмотрим ∆ ВАН (угол ВНА = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ² = ВН² + АН²
АН² = 13² - 12²
АН² = 169 - 144 = 25

Значит, АН = 5 см – высота равнобедренного треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле:



где а – основание треугольника, h – высота, проведённая к этому основанию

S abc = 1/2 × BC × AH = 1/2 × 24 × 5 = 12 × 5 = 60 см²

ОТВЕТ: АН = 5 см ; S abc = 60 см²