Дано куб. Визнач, яка з названих у відповіді прямих перпендикулярна даній площині? Cube_01.png а) площині (BCC1) перпендикулярна AA1 BD BD1 AC1 B1C1 AC AB б) площині (ACC1) перпендикулярна AC1 AB BD BD1 AC B1C1 AA1 2. В якій ситуації проведена пряма, яка не знаходиться в площині названої фігури, перпендикулярна до площини цієї фігури? пряма проведена перпендикулярно бічним сторонам трапеції пряма проведена перпендикулярно катетам прямокутного трикутника пряма проведена перпендикулярно двом радіусам, які не утворюють діаметр кола пряма проведена перпендикулярно основі рівнобедреного трикутника пряма проведена перпендикулярно двом сторонам квадрата
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Говоря о средней линии, третью сторону треугольника будем называть основанием.
Так, на рис. 1 показана средняя линия KL треугольника ABC. В этом случае мы называем
основанием сторону AC.
A
B
C
K L
Рис. 1. Средняя линия
Теорема о средней линии. Средняя линия треугольника: 1) параллельна основанию; 2) равна половине основания.
Доказывая теорему о средней линии, мы продемонстрируем один приём, который бывает
полезен в задачах. А именно, мы как бы заходим с другой стороны: вместо того, чтобы проводить среднюю линию и доказывать параллельность, мы проводим через середину стороны
прямую, параллельную основанию, и показываем, что получится средняя линия.
Доказательство. Пусть K — середина стороны AB треугольника ABC. Проведём KL параллельно основанию AC (рис. 2). Имеем: ∠BKL = ∠BAC (как соответственные углы при
параллельных прямых KL и AC).
A
B
C
K L
M
Рис. 2. К теореме о средней линии
Проведём также LM k AB. Имеем: ∠MLC = ∠ABC (снова как соответственные углы).
Кроме того, четырёхугольник AKLM — параллелограмм по построению. По свойству параллелограмма LM = AK и, стало быть, LM = KB.
Таким образом, треугольники KBL и MLC равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Следовательно, BL = LC (эти стороны являются соответствующими, так как лежат
напротив равных углов), и потому KL — средняя линия. Итак, средняя линия параллельна
основанию — первое утверждение теоремы доказано.
1
Из равенства треугольников KBL и MLC следует также, что KL = MC. Вместе с тем, по
свойству параллелограмма имеем KL = AM. Значит, M — середина AC, и KL = AC/2. Тем
самым доказано второе утверждение теоремы.
Теорема о средней линии, очень важная сама по себе, позволяет доказать также весьма
важную теорему о медианах треугольника.
Теорема о медианах. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1 (считая от вершины треугольника).
Доказательство. Докажем прежде всего, что две медианы делятся точкой пересечения в
отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть медианы AL и CK треугольника ABC пересекаются в точке O (рис. 3). Пусть также
M — середина CO и N — середина AO.
A
B
C
K L
MN
O
Рис. 3. К теореме о медианах
Отрезок KL есть средняя линия в треугольнике ABC; по теореме о средней линии имеем
KL k AC и KL = AC/2.
Отрезок NM есть средняя линия в треугольнике AOC, поэтому NM k AC и NM = AC/2.
Следовательно, KL k NM и KL = NM. Таким образом, в четырёхугольнике KLMN две
стороны равны и параллельны, и потому KLMN — параллелограмм. Поскольку диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, имеем KO = OM и LO = ON. Отсюда
следует, что AO = 2OL и CO = 2OK, то есть медианы AL и CK делятся точкой O в отношении
2 : 1, считая от вершин.
Нам остаётся доказать, что третья медиана BP также проходит через точку O. В самом
деле, предположим, что медианы BP и AL пересекаются в точке O1. Тогда, как мы только что
доказали, должно быть выполнено равенство AO1 : O1L = 2 : 1. Но ведь и AO : OL = 2 : 1;
следовательно, точка O1 совпадает с O. Теорема доказана.
Задачи
1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
2. Дан треугольник с периметром 6. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах
сторон данного треугольника.
3
2
3. Две стороны треугольника равны a и b. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
b +a
4. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
5. В четырёхугольнике сумма длин диагоналей равна 5. Найдите периметр четырёхугольника
с вершинами в серединах сторон данного,
5
6. Диагональ прямоугольника равна 1. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон прямоугольника.
2
7. Диагонали ромба равны 6 и 10. Найдите стороны и углы четырёхугольника с вершинами в
серединах сторон этого ромба.
◦ 90 3, 5, 3, 5; все углы равны
8. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого
угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
9. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC треугольника ABC, и
медиана, проведённая из вершины A, делят друг друга пополам.
10. Угол A ромба ABCD равен 45◦
, проекция стороны AB на сторону AD равна 10. Найдите
расстояние от центра ромба до его стороны.
5
11. Расстояние между серединами перпендикулярных хорд AC и BC окружности равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения этих хорд.
7
Объяснение:
Объяснение:
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и делящий угол при вершине пополам.
1) ON – медиана треугольника МОК – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что точка N –середина отрезка МК
2) ON – высота треугольника МОК – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что ∠MNO=90°.
3) ЕН – высота треугольника DEC – верно, так как ∠EHD=90°
4) BP – медиана треугольника АВD – верно, так как AР=РD=7, то есть, точка Р -середина отрезка AD
5) ВР – биссектриса треугольника ABD – неверно, на чертеже нет никаких данных о том, что ∠ABP