Дано піраміда в основі якої лежить правильний трикутник , бічні ребра якої рівні і=а та утворюють з площиною кут альфа. основа висоти so точка о є центром многокутника основи
знайти:
1)висоту піраміди
2) радіус кола описаного навколо основи піраміди
3)сторону основи піраміди
4)площину основи піраміди
5) радіус кола вписаного в основу піраміди
6) висоту бічної грані проведеної із вершини піраміди
По теореме Пифагора найдем второй катет Он равен корень квадратный из 81-36= 3 корень квадратный из 5. Пусть проекция одного катета равна х, а второго 9-х.Высота опущенная из прямого угла прямоугольного треугольника делит данный треугольник на два прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора найдем высоту из одного прямоугольного треугольника h=36-x^2. Теперь эту же высоту найдем из второго треугольника, так как эта высота является общей стороной двух прямоугольных треугольников. h=45-(9-x)^2. приравняем и получим уравнение:
36-x^2=45-81+18x-x^2
18x=72
x=4 (проекция одного из катетов)
9-4=5(проекция второго катета)
Теперь найдем высоту прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: h= корень квадратный из 36-16= корень квадратный из 20=2 корень квадратный из 5
№1. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна а, а диагональное сечение - равносторонний треугольник. Найти объем пирамиды.
Пирамида QABCD, QO - высота, АQC- диагональное сечение, АВ=а.
V=S•h:3
S=a²
h=AC√3/2
AC=a:sin45°=a√2
h=a√6/2
V=a³√6/6
№2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема – 15 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, следовательно, QH⊥CD. По т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥CD.
По т.Пифагора ОН=9 ( можно обойтись без вычислений, т.к. ∆ QOH- египетский, где отношение катет:гипотенуза=4:5).
ОН - половина АD, ⇒АD=2OH=18 (см)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания.
S=15•18•4:2=540 см².
————————
№3. Условие неполное.
Объем V правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC), на высоту h (OS)
Формула площади основания S=a²√3/2. Зная высоту, несложно вычислить объём данной пирамиды.
———————
№4.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
S(бок)=3•MH•AB:2=3•8/3•8:2=32
————————
№5
Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.
————————
№6.
Найти объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником.
———————
Решения задач 4,5,6 даны в приложениях.
Объяснение: