Дано точки A(-2; 3), В(1;-1), С(2;4). Знайдіть: 1. Координати вектора АВ і СА;
2. Модулі векторів АВ і СА;
3. Координати вектора MN = 3 АВ - 2СА;
4. Скалярні добуток векторів ЛВ і СА;
5. Косинус кута між векторам АВ і СА;​

Обозначим данный треугольник АВС, угол ВАС=35°, угол ВСА=25°, угол АВС= 180°-(35°+25°)=120°

Углы треугольника вписанные. Градусная мера дуги, на которую они опираются, вдвое больше ( свойство). Тогда градусная мера 

дуги АВ= 35°•2=70°,

дуги ВС=25°•2=50°,

дуги AC=120°•2=240°

Чтобы найти длину дуг, нужно знать длину 1° и умножить на градусную мер дуги, т.е применить формулу длины дуги 

Найдём длину окружности по формуле С=2πR

Т.к.окружность описанная, её радиус найдем по т.синусов:

⇒

C=10π

Длина 1° данной окружности 10π/360°=π/36

Длина АВ=(π:36)•70=70π/36=35π/18

Длина ВС=(π:36)•50=50π/36=25π/18

Длина АС =(π:36)•240=240π/36=20π/3

Для проверки можно сложить получившиеся длины дуг - получим длину окружности 10π.

ΔMNQ: по теореме косинусов:

             MQ² = MN² + NQ² - 2 · MN · NQ · cos45°            

             MQ² = (3√2)² + 7² - 2 · 3√2 · 7 · √2/2 = 18 + 49 - 42 = 25

             MQ = 5 см

ΔMNQ = ΔMNP по двум сторонам и углу между ними (NQ = NP по условию, MN - общая, ∠MNQ = ∠MNP по условию), ⇒

MP = MQ = 5 см

ΔMPQ:  p = (5 + 5 + 8)/2 = 9 см

             по формуле Герона:

             Smpq = √(p · (p - MP) · (p - MQ) · (p - PQ))

             Smpq = √(9 · (9 - 5) · (9 - 5) · (9 - 8)) = √(9 · 4 · 4 · 1) = 3 · 4 = 12 см²