У правильной треугольной пирамиды основание - равносторонний треугольник, высота опускается в его центр. Смотри рисунок. Слева показана сама пирамида, справа ее основание. Из прямоугольного треугольника SDO ясно, что OD = L*sin α Но мы знаем, что точка О - центр треугольника - делит высоту в отношении 1 : 2, то есть CD = 3*OD = 3L*sin α С другой стороны, мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота CD = a*√3/2, где a = AB = AC = BC - сторона треугольника. Получаем a*√3/2 = 3L*sin α a = 6/√3*L*sin α = 6√3/3*L*sin α = 2√3*L*sin α Площадь боковой стороны S(ABS) = S(ACS) = S(BCS) = a*L/2 = 2√3*L*sin α*L/2 = √3*L^2*sin α Площадь всей боковой поверхности пирамиды S(бок) = 3*S(ABS) = 3√3*L^2*sin α
Основание пирамиды-прямоугольник с углом между диагоналями 120° градусов. Все боковые ребра пирамиды равны 3√2 см и наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
Боковые ребра пирамиды равны и наклонены к плоскости основания под углом 45°, следовательно, проекции ребер на плоскость основания также равны между собой и равны половинам диагоналей основания, а треугольник, образованный высотой SO пирамиды, половиной OC диагонали и боковым ребром SC - прямоугольный равнобедренный. Отсюда высота SO пирамиды также равна половине диагонали. По т. Пифагора или формулы равнобедренного прямоугольного треугольника с=a√2 высота SO пирамиды и половина диагонали основания равны 3 см. Основание пирамиды - прямоугольник с углом между диагоналями 120° градусов, значит, второй угол между ними 60°. Меньшая сторона прямоугольника образует с половинами диагоналей равносторонний треугольник, ⇒ меньшая сторона основания также равна 3 см Диагональ основания равна 3*2=6 см Большая сторона основания - катет, противолежащий углу 60° и равна 6*sin(60°)= 3√3 см Объем пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленную на 3: V=Sh:3 V=3*(3√3)*3:3=9√3 см³
Слева показана сама пирамида, справа ее основание.
Из прямоугольного треугольника SDO ясно, что OD = L*sin α
Но мы знаем, что точка О - центр треугольника - делит высоту в отношении 1 : 2, то есть
CD = 3*OD = 3L*sin α
С другой стороны, мы знаем, что в равностороннем треугольнике
высота CD = a*√3/2, где a = AB = AC = BC - сторона треугольника.
Получаем
a*√3/2 = 3L*sin α
a = 6/√3*L*sin α = 6√3/3*L*sin α = 2√3*L*sin α
Площадь боковой стороны
S(ABS) = S(ACS) = S(BCS) = a*L/2 = 2√3*L*sin α*L/2 = √3*L^2*sin α
Площадь всей боковой поверхности пирамиды
S(бок) = 3*S(ABS) = 3√3*L^2*sin α
Боковые ребра пирамиды равны и наклонены к плоскости основания под углом 45°, следовательно,
проекции ребер на плоскость основания также равны между собой и равны половинам диагоналей основания,
а треугольник, образованный высотой SO пирамиды, половиной OC диагонали и боковым ребром SC - прямоугольный равнобедренный.
Отсюда высота SO пирамиды также равна половине диагонали.
По т. Пифагора или формулы равнобедренного прямоугольного треугольника с=a√2 высота SO пирамиды и половина диагонали основания равны 3 см.
Основание пирамиды - прямоугольник с углом между диагоналями 120° градусов, значит, второй угол между ними 60°.
Меньшая сторона прямоугольника образует с половинами диагоналей равносторонний треугольник, ⇒ меньшая сторона основания также равна 3 см
Диагональ основания равна 3*2=6 см
Большая сторона основания - катет, противолежащий углу 60° и равна 6*sin(60°)= 3√3 см
Объем пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленную на 3:
V=Sh:3
V=3*(3√3)*3:3=9√3 см³