Дано вектори a і b⃗ такі, що |a| = 4,|b| = 5, а кут між векторами
a і b⃗ дорівнює 30°. Знайдіть |3a + 2b|

Объяснение:

Дано:

Окружность (O;r)

4-угольник ABCD - вписан в (O;r)

продолж.ВА пересек. продолж. CD в т. К.

Доказать:

∆BКС ~ ∆DКA

Доказательство:

Если 4-угольник можно вписать в окружность =>

=> сумма двух противоположных углов равна 180°:

Обозначим для удобства

Обратим внимание, что прямые КВ и КС можно расценивать как развернутые (180°) углы: уг.KAB и уг.КDC

Представив развернутые углы KAB и КDС,как сумму углов, их составляющих

(КАD + BAD и КDA + CDA соответственно) ,

выразим через них углы КAD и КDA:

А это означает, что:

Также, вследствие того что:

(по сути, АВС и КВС - это один и тот же угол,

DCA и КСА - аналогично).

Рассмотрим ∆BКС и ∆DКA:

Что и требовалось доказать.

10

Объяснение:

1) Рассчитаем соотношение длин отрезков АК и КВ гипотенузы АВ, для чего площадь треугольника СКВ (S₂) разделим на площадь треугольника АКС (S₁) :

S₂ = 1/2 · КВ · КС = 16  (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту)      

S₁ = 1/2 · АК · КС = 4

Отношение площадей:

S₂ : S₁ = (1/2 · КВ ·  КС) : (1/2 · АК · КС) = КВ : АК = 16 : 4 = 4

Мы получили соотношение длин отрезков АК и КВ гипотенузы АВ:

КВ = 4 АК .

Путь АК = х, тогда КВ = 4х

2) Так как перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, то:

СК² = АК · КВ

СК² = х · 4х

СК² = 4х²

СК = √(4х²) = 2х

3) Выразим площадь треугольника АКС через х и найдём значение х (то есть длину отрезка АК):

АК = х, КС = 2х

S₁ = 1/2 · АК · КС = 4

1/2 · х · 2х  = 4

2х² = 8

х² = 4

х = √4 = 2

Таким образом:

АК = 2

4) Так как КВ = 4 АК,

то КВ = 2 · 4 = 8

КВ = 8

5) АВ = АК + КВ = 2 + 8 = 10

АВ = 10

ответ: гипотенуза АВ = 10