Даны точки a, b, c и d. докажите, что ab^2 +bc^2 +cd^2 + da^2 ≥ ac^2 +bd^2 , причем равенство достигается, только если abcd — параллелограмм.

Начертим четырехугольник ABCD и проведём диагонали AC и BD.
По теореме косинусов:
BD² = AB² + AD² - 2AB*AD*cosA
BD² = BC² + CD² - 2BC*CD*cosC
AC² = AB² + BC² - 2AB*BC*cosB
AC² = AD² + DC² - 2AD*DC*cosD

Теперь сложим все эти четыре равенства:
AC² + AC² + BD² + BD² = AB² + AD² - 2AB*AD*cosA + BC² + CD² - 2BC*CD*cosC + AB² + BC² - 2AB*BC*cosB + AD² + DC² - 2AD*DC*cosD

2AC² + 2BD² = 2AB² + 2BC² + 2DC² + 2AD² - 2AD*DC*cosD - 2BC*CD*cosC - 2AB*AD*cosA -  2AB*BC*cosB
AC² + BD² = AB² + BC² + DC² + AD² - AD*DC*cosD - BC*CD*cosC - AB*AD*cosA -  AB*BC*cosB
AC² + BD² + AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB = AB² + BC² + DC² + AD²
 AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB > 0 (косинус тупого угла < 0, косинус острого угла > 0, против большей стороны лежит больший угол, поэтому произведение с отрицательным косинусом тупого угла со сторонами будет меньше, чем произведение косинуса острого угла с другими двумя сторонами)
Значит, AC² + BD² < AB² + BC² + DC² + AD².

В параллелограмме AB = CD, BC = AD, cosA = cos C = -cosB = -cosD (противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы равны; т.к. ∠A и ∠B, ∠C и ∠B - односторонние, то косинусы их будут противоположны)
 AC² + BD² + AD*DC*cosD + BC*CD*cosC + AB*AD*cosA + AB*BC*cosB = AB² + BC² + DC² + AD²

AC² + BD² - AD*AB*cosA + AD*AB*cosA + AB*AD*cosA - AD*AB*cosA = AB² + BC² + DC² + AD²

AC² + BD² =  AB² + BC² + DC² + AD² (данное равенство называется тождеством параллелограмма).