Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у). а) Найдите координаты векторов МР и ОК.
б) Найдите длины векторов МР и ОК.
в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.
г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.
д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?
е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?
2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ
Вектор МР обозначает разницу координат точки P и точки M:
МР = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-2 - 2, 0 - 3) = (-4, -3)
Вектор ОК обозначает разницу координат точки K и точки O:
ОК = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-5 - 0, -12 - 0) = (-5, -12)
б) Чтобы найти длины векторов МР и ОК, надо использовать формулу длины вектора:
|МР| = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) = √((-4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
|ОК| = √((-5)^2 + (-12)^2) = √(25 + 144) = √169 = 13
в) Чтобы найти скалярное произведение векторов МР и ОК, надо использовать формулу скалярного произведения:
МР·ОК = (х_1 * х_2) + (у_1 * у_2) = (-4 * -5) + (-3 * -12) = 20 + 36 = 56
г) Чтобы найти косинус угла между векторами МР и ОК, надо использовать формулу косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (МР·ОК) / (|МР| * |ОК|) = 56 / (5 * 13) = 56 / 65
д) Чтобы определить, является ли данный угол острым, прямым или тупым, нам надо использовать значение косинуса угла.
Если 0 < cos(θ) < 1, то угол острый.
Если cos(θ) = 0, то угол прямой.
Если -1 < cos(θ) < 0, то угол тупой.
В данном случае, cos(θ) = 56 / 65, и это значение находится между 0 и 1, значит, угол острый.
е) Чтобы найти значение у, при котором векторы РК и МR перпендикулярны, надо использовать свойство перпендикулярных векторов:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0:
РК·МR = (х_1 * х_2) + (у_1 * у_2) = (-2 * (у - 0)) + (3 * (у + 12))
(-2 * у) + (2 * 0) + (3 * у) + (3 * 12) = 0
у - (36 / 2) = 0
у - 18 = 0
у = 18
При значении у = 18, векторы РК и МR перпендикулярны.
2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2.
Чтобы вычислить скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ, надо использовать формулу скалярного произведения:
НК·МР = (х_1 * х_2) + (у_1 * у_2) = (0 * -4) + (0 * -3) = 0
НК·НР = (х_1 * х_2) + (у_1 * у_2) = (0 * 2) + (0 * 0) = 0
РМ·РМ = (х_1 * х_2) + (у_1 * у_2) = (-4 * -4) + (-3 * -3) = 16 + 9 = 25