Дiaгональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, а кут між бічною стороною і більшою основокю трапеції дорівнюе а. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, якшо 1 висота доріянюе А.

Достроим треугольник до квадрата симметрично его гипотенузы.
Площадь квадрата вдвое больше площади треугольника, то есть Sк=2Sт=2·40.5=81 см².
Площадь квадрата: Sк=d²/2 ⇒ d=√(2·Sк)=√(2·81)=9√2 см, где d - диагональ квадрата и гипотенуза треугольника.
Сторона квадрата: a=d/√2=9 см. 
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Длина описанной окружности: C=2πR=πd=9√2π см - это ответ.
Формула радиуса вписанной окружности: r=(a+b-c)/2. a=b, c=d.
r=(2a-d)/2=(2·9-9√2)/2=9(2-√2)/2.
Длина вписанной окружности: c=2πr=9(2-√2)π см - это ответ.

1. Справедливо третье равенство. Для доказательства записываем сумму углов треугольника ABC:

A+B+C=180°,

а также сумму углов треугольника AOC:

A/2+C/2+∠AOC=180°.

Умножая второе равенство на 2 и вычитая из полученного равенства первое, получаем

2∠AOC-B=180; ∠AOC=90°+B/2

2. Справедливо второе равенство. Для доказательства обращаем внимание на то, что если высоты AA_1 и CC_1, то в четырехугольнике C_1BA_1O углы C_1 и A_1 - прямые⇒B+∠C_1OA_1=180°⇒
∠AOC=∠C_1OA_180°-B.

Замечание. По умолчанию мы считали известным, что треугольник остроугольный.