Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Оказалось, что AB=BK=KD. На отрезке KC отметили такую точку L, что AK=LC. Найдите ∠BLA, если известно, что ∠ABD=58∘ и ∠CDB=86∘.

Дано: Δ АВС
∠ВАС = 90⁰
АВ + АС = а
АВ ∙ АС  =  в
к - сторона квадрата, вписанного в ΔАВС
∠ВАС - общий 
Найти:       к
Решение.
Площадь (S) ΔАВС = S₁ +S₂ +Sк;   S = в/2;  Sк = к²; 
 S₁ = кх/2;  S₂ = ку/2;  S₁+S₂ = (к/2)(х+у) ; 
 АВ+АС = а = х+к+к+у = 2к+(х+у);  (х+у) = а - 2к;
S₁+S₂ = (к/2)(х+у) = (к/2)(а-2к);   
в/2 =(к/2)(а-2к) + к²;   в/2 = ак/2 – к²+к²;   в/2 = ак/2;   
     к = в/а
ответ:  Сторона квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник равна произведению длин катетов, деленному на их сумму.

В шар вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Найдите площадь поверхности шара, если площадь основания конуса равна 2.4 
--------
Сделаем схематический  рисунок, как если бы шар  и конус были разрезаны по оси конуса, т.е. через вершину конуса и центр шара.
Треугольник АВС - осевое сечение конуса и является равнобедренным. ВН=АС=2r  по условию
Из площади основания конуса найдем r: 
S=πr² 
r=√(2,4:π) 
Площадь поверхности шара (площадь сферы) найдем по формуле
 S=4πR² 
Радиус R шара =диаметр ВД:2 
По свойству пересекающихся хорд ВН*НД=АН*НД 
2r*НД=r*r 
2НД=r 
НД=r:2=0,5r 
ВД=2R=2r+0,5 r=2,5r 
R=2,5*√(2,4:π):2 =1,25*√(2,4:π)
S=4*[1,25*√(2,4:π)]²=15 ед. площади