Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 и 12. сторона верхнего основания равна 4. найдите высоту трапеции,а также площадь и периметр.

Сделаем рисунок к задаче.
Высота этой трапеции отсекает от нее прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 3√2.
Такой треугольник - половина квадрата с диагональю=гипотенузе.
Формула диагонали квадрата ( формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного тр-ка).
d=а√2, где а- сторона квадрата, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике - катет. Знание этой формулы часто избавляет от лишних вычислений.
  d=СК
СК =3√2=СН√2
СН√2=3√2
СН=3 см
СН=НК как равный катет.
АК=2НК
ВС=АК:2
Площадь трапеции равна Н*(АВ+ВС)
S=3*(3+6):2=13,5 см²

Решение Пусть данный треугольник будет АВС. 
Угол В=105º, 
угол С=45º 
Найдем третий угол треугольника: угол А=180-*105+45)=30º 
Угол А - наименьший, и против него лежит  наименьшая сторона ВС ∆ АВС. 
Проведем высоту ВН и получим равнобедренный прямоугольный треугольник ВНС.  
ВН=НС 
По т. Пифагора ВН=7 
Или ВН=ВС*sin 45º=7 
Катет ВН прямоугольного ∆ ВАН  противолежит углу 30º и равен половине гипотенузы ВА 
АВ Найдем угол А - равен 30º 
Этому углу противолежит сторона ВС =7√2
Тогда по т.синусов
АВ:sin 45º=BC:sin 30º
(АВ√2):2=(7√2):0,5⇒
АВ=7*2=14 см