Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна 40. окружность радиуса 9 касается гипотенузы в ее середине.найти длину отрезка, отсекаемого этой окружностью на одном из катетов.

Если поместить центр начала координат в середину гипотенузы и провести ось Y через вершину прямого угла, а ось X вдоль гипотенузы, то вершины треугольника будут иметь координаты (20,0) (-20,0) (0,20), а центр окружности радиуса 9 будет находиться в точке (0, 9). Уравнение стороны и уравнение окружности выглядят так.
x + y = 20;
x^2 + (y - 9)^2 = 9^2;
отсюда y - 9 = 11 - x; и для точек пересечения получается квадратное уравнение на их координаты x1 и x2; 
x^2 + (11 - x)^2 = 9^2; или x^2 - 11*x + 20 = 0;
x1 = (11 + √41)/2; x2 = (11 - √41)/2; 
Расстояние между точками пересечения стороны и окружности, очевидно, равно
d = (x1 - x2)*√2 = √82;

Не буду рисовать рисунок ! так как у предыдущего ответа есть рисунок я буду по ней решать!
треугольник равнобедренный , по свойству касательной проведенной с одной точки 
OB касательная к окружности, стало быть ВЕ секущая  , по формуле 
OB^2=BK*BE =BK(EK+KB)
СО тоже секущая и она же высота равнобедренного треугольника , по свойству 
CE*EK=CL*LE  (точка L это точка где окружность пересекает  высоту)
у нас известно что ОВ это середина значит 40/2=20
Найдем катет треугольника так как у нас треугольник равнобедренный то 
2BC^2=40^2
BC=20√2
Теперь найдем высоту треугольника  H=√(20√2)^2-20^2 = 20 
и найдем отрезок CL=20-2R = 2см

Ставим все в наше уравнение
400=BK(EK+KB)
40=(CE+EK)*CE
СЕ+EK+BK=20√2

решаем систему! 
сделаем замену чтобы удобней решалось 
BK=x
EK=y
CE=z

400=x(y+x)
40=y*(z+y)
x+y+z=20√2

выразим y+z  третьего уравнения 
y+z=20√2-x

40=y*(20√2-x)
400=x(y+x)

40=20√2y-yx
400=yx+x^2

40=20√2y-(400-x^2)
440=20√2y+x^2
y=440-x^2/20√2 

получаем x =-√82-29√2/2   y=√82 =EK  ответ   √82