Два 1) Пусть BC и AD пересекаются в точке T, тогда TCA - равнобедренный (CAD+BCA=180) . Продлив за точку C , отрезок равный CD'=AD получаем TDD' - равнобедренный TDD'=BCA , значит CDD'A вписанный , откуда BD'A = CDA , так как ACD = CAD' откуда BAD' = CAB+DCA = BD'A=CDA (так как AB=DB') то есть CAB+DCA=CDA
2) Положим что BCA=x, CAB=n , DCA=m , тогда BC=AB*sin(n)/sinx AD=AB*sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m)) Так как BC+AD=AB откуда sin(n)/sinx + sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m)) = 1 sin(m+n) = sin(x-m) m+n=x-m x=2m+n То есть BCA=2DCA+CAB и так как CDA=BCA-DCA Откуда CDA=DCA+CAB
При соотношении заданных длин определяем, что ВД может быть биссектрисой угла при верхнем основании - угла В, а не Д. Так как ВД больше АД, то угол А тупой. Отсюда следует АВ = АД = 5. Находим площадь треугольника АВД по Герону: р = (5+5+8)/2=18/2=9. S(АВД) = √(9*4*4*1) = √(9*16) = 3*4 = 12 кв.ед. Отсюда определим высоту h этого треугольника их вершины В, равную высоте трапеции: h = 2S/АД = 2*12/5 = 24/5. Осталось определить сторону СД. Из треугольника АВД находим косинус угла АВД, равного углу ДВС (по условию задания). cos (АВД) = (5²+8²-5²)/(2*5*8) = 64/80 = 4/5. Теперь можно определить СД по теореме косинусов из треугольника ДВС: СД = √(8²+4²-2*8*4*(4/5)) = √(64+16-(256/5)) = 12/√5 = 12√5/5. Находим площадь трапеции: S =((4+5)/2)*(24/5) = (9/2)*(24/5) = 108/5 = 21,6 кв.ед.
1) Пусть BC и AD пересекаются в точке T, тогда TCA - равнобедренный (CAD+BCA=180) .
Продлив за точку C , отрезок равный CD'=AD получаем TDD' - равнобедренный TDD'=BCA , значит CDD'A вписанный , откуда BD'A = CDA , так как ACD = CAD' откуда BAD' = CAB+DCA = BD'A=CDA (так как AB=DB') то есть CAB+DCA=CDA
2) Положим что BCA=x, CAB=n , DCA=m , тогда
BC=AB*sin(n)/sinx
AD=AB*sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m))
Так как BC+AD=AB откуда
sin(n)/sinx + sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m)) = 1
sin(m+n) = sin(x-m)
m+n=x-m
x=2m+n
То есть BCA=2DCA+CAB и так как
CDA=BCA-DCA
Откуда CDA=DCA+CAB
Так как ВД больше АД, то угол А тупой.
Отсюда следует АВ = АД = 5.
Находим площадь треугольника АВД по Герону: р = (5+5+8)/2=18/2=9.
S(АВД) = √(9*4*4*1) = √(9*16) = 3*4 = 12 кв.ед.
Отсюда определим высоту h этого треугольника их вершины В, равную высоте трапеции: h = 2S/АД = 2*12/5 = 24/5.
Осталось определить сторону СД.
Из треугольника АВД находим косинус угла АВД, равного углу ДВС (по условию задания).
cos (АВД) = (5²+8²-5²)/(2*5*8) = 64/80 = 4/5.
Теперь можно определить СД по теореме косинусов из треугольника ДВС:
СД = √(8²+4²-2*8*4*(4/5)) = √(64+16-(256/5)) = 12/√5 = 12√5/5.
Находим площадь трапеции:
S =((4+5)/2)*(24/5) = (9/2)*(24/5) = 108/5 = 21,6 кв.ед.