Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности
Доказательство:
1) Пусть:
a - сторона правильного треугольника;
h - его высота;
r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
R - радиус описанной окружности.
2) Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то его высота является катетом, который лежит против угла 60°, и равна произведению гипотенузы (стороны треугольника) на синуса угла 60°:
h = a · sin 60° = а√3/2.
2) В правильном треугольнике все высоты являются медианами и точкой пересечения медиан делятся на отрезки 2 : 1, считая от вершины:
2 · (а√3/2)/3 = а√3/3
1 · (а√3/2)/3 = а√3/6.
3) Первый из указанных отрезков является точкой пересечения срединных перпендикуляров, в силу чего является радиусом описанной окружности:
R = а√3/3
4) Второй отрезок (1/3 часть медианы) - радиус вписанной окружности:
r = а√3/6
5) Найдём, чему равно отношение r : R:
r : R = (а√3/6) : (а√3/3) = 1/6 : 1/3 = 1/6 · 3/1 = 3/6 = 1/2 - что и требовалось доказать.
См. Доказательство
Объяснение:
Задание:
Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности
Доказательство:
1) Пусть:
a - сторона правильного треугольника;
h - его высота;
r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
R - радиус описанной окружности.
2) Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то его высота является катетом, который лежит против угла 60°, и равна произведению гипотенузы (стороны треугольника) на синуса угла 60°:
h = a · sin 60° = а√3/2.
2) В правильном треугольнике все высоты являются медианами и точкой пересечения медиан делятся на отрезки 2 : 1, считая от вершины:
2 · (а√3/2)/3 = а√3/3
1 · (а√3/2)/3 = а√3/6.
3) Первый из указанных отрезков является точкой пересечения срединных перпендикуляров, в силу чего является радиусом описанной окружности:
R = а√3/3
4) Второй отрезок (1/3 часть медианы) - радиус вписанной окружности:
r = а√3/6
5) Найдём, чему равно отношение r : R:
r : R = (а√3/6) : (а√3/3) = 1/6 : 1/3 = 1/6 · 3/1 = 3/6 = 1/2 - что и требовалось доказать.