Доказать, что сумма расстояний от любой точки в середине треугольника до трех его вершин больше полупериметр, но меньше периметр треугольника. заранее !

См. рисунок.
1) МВ+MC<АВ+АС<MA+MC<AB+BC, тогда
   MB+MB+MA+MA+MC+MC<AB+AB+BC+BC+MC+MC
или
(МВ+МА+МС)·2<(AB+BC+AC)·2
MB+MA+MC<AB+BC+AC=P

2) Применим неравенство треугольника:
  AB<MA+MB,
  BC<MB+MC,
  AC<MA+MC
Сложим все три неравенства, получим
АВ+ВС+АС<MA+MB+MB+MC+MA+MC
или
P<2·(MA+MB+MC)
откуда
MA+MB+MC>P/2

из 1) и 2) получаем P/2<MA+MB+MC<P

 

Треугольник АВС, точка М внутри треугольника.
Продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N.
Тогда AB+AN > BN=BM+MN  
           MN+NC>MC.
Сложив почленно эти неравенства, получим:
AB+AN+NC+MN > MN+BM+MC, или AB+AC+MN > BM+MC+MN.
Отсюда следует, что AB+AC > BM+MC.     
Исходя из этогои следует, что для точки M , лежащей внутри треугольника ABC, верны неравенства:
MB+MC < AB+AC,
MB+MA < AC+BC,
MA+MC < AB+BC.
Сложив их почленно, получим
2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC). Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра треугольника: (MA+MB+MC)<Р.
Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMC, BMC и AMB, получим AM+MC>AC,
BM+MC > BC
AM+MB > AB,
Сложив их почленно, получим:
Откуда 2(AM+BM+CM)>(AB+AC+BC).
AM+BM+CM>1/2(AB+AC+BC).
Указанная сумма расстояний больше полупериметра треугольника: 
AM+BM+CM>1/2Р