Построим SO пл. АВС. SA, SB, SC - наклонные, а рав ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- радиус описанной окружности. ΔАВС - правильный; про должим АО, СО и ВО до пересечения их со сторонами треугольника. (из свойств правильного треугольника). Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5. линейный угол двугранного угла SACB. линейный угол двугранного угла SABC. - линейный угол двугранного угла SBCA (по определению). ΔOB1S = ΔOC1S = ΔOA1S - по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет), (из равенства треугольников). Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов. Поэтому все двугранные углы равны. Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA. Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем ΔBSC: SA1 =а sin 60° ΔАВС: ОА1 ΔSA1O: cos φ φ - острый угол. Отсюда: φ = ответ: φ =
Построим SO пл. АВС.
SA, SB, SC - наклонные, а рав ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- радиус описанной окружности.
ΔАВС - правильный; про должим АО, СО и ВО до пересечения их со сторонами треугольника.
(из свойств правильного треугольника).
Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5.
линейный угол двугранного угла SACB.
линейный угол двугранного угла SABC.
- линейный угол двугранного угла SBCA (по определению).
ΔOB1S = ΔOC1S = ΔOA1S - по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет),
(из равенства треугольников).
Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов.
Поэтому все двугранные углы равны.
Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA.
Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем
ΔBSC: SA1 =а sin 60°
ΔАВС: ОА1
ΔSA1O: cos φ
φ - острый угол.
Отсюда: φ =
ответ: φ =