1) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Она пересекает грань ВВ₁С₁С по прямой ВС. Так как точка А₁ принадлежит сечению, то секущая плоскость пересекает грань АА₁D₁D по прямой A₁D₁ (BC║A₁D₁).
A₁D₁CB - искомое сечение.
Расположение точки М не дано. Возьмем точку на ребре АА₁.
По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Проведем в грани АА₁В₁В отрезок MF║А₁В, в грани AA₁D₁D отрезок МЕ║A₁D₁.
Плоскость грани АВСD пересекает параллельные плоскости (желтую и голубую) по параллельным прямым, поэтому в грани АВСD проводим отрезок FK║BC. Соединяем точки Е и К.
MEKF - искомое сечение.
2) В задании пунктов а) и в) точка М расположена одинаково. В пункте а) не сказано, как проходит сечение, а через одну точку можно провести бесконечно много сечений. Поэтому эти пункты объединим, стоим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно прямым АС и BD.
а) и в) Проведем в грани ACD МК║АС, а в грани BCD МР║BD.
МР║BD, а значит и плоскости ABD. Сечение проходит через МР и пересекает ABD, значит линия пересечения параллельна BD. Проводим КЕ║BD.
МК║АС, а значит и плоскости АВС. Сечение проходит через МК и пересекает АВС, значит линия пересечения параллельна АС. Значит получилось, что ЕР║АС.
МКЕР - искомое сечение. Имеет вид параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны (МК и РЕ параллельны АС, значит МК║РЕ, КЕ и МР параллельны BD, значит КЕ║МР).
Сечение может быть ромбом, если речь идет о правильном тетраэдре и точка М будет серединой стороны CD. Тогда все стороны сечения будут средними линиями граней тетраэдра и будут равны.
б) Соединим точки, находящиеся в одной грани: М и N, N и К.
Прямая MN лежит в грани BCD, эта грань пересекает плоскость грани ABD по прямой BD. Продлим MN до пересечения с прямой BD (точка Р).
Теперь точки Р и К лежат в плоскости одной грани ABD; проводим прямую РК. Она пересечет ребро AD в точке Т.
1. Пусть АВ ∩ α = О. Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой. ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значит ВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3 ОА = 3/5 АВ АМ = 1/2 АВ ОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.
МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6
ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значит ММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6 ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.
2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α. Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. ∠(АС; α) = ∠АСН ∠(АВ; α) = ∠АВН ΔАСН: ∠АНС = 90° sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2 ∠ACH = 45°.
АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым. 1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁. KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В. 2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна ВС₁. KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости). 3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов. ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 см Sbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см² ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников). k = 1/2. Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²
1) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Она пересекает грань ВВ₁С₁С по прямой ВС. Так как точка А₁ принадлежит сечению, то секущая плоскость пересекает грань АА₁D₁D по прямой A₁D₁ (BC║A₁D₁).
A₁D₁CB - искомое сечение.
Расположение точки М не дано. Возьмем точку на ребре АА₁.
По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Проведем в грани АА₁В₁В отрезок MF║А₁В, в грани AA₁D₁D отрезок МЕ║A₁D₁.
Плоскость грани АВСD пересекает параллельные плоскости (желтую и голубую) по параллельным прямым, поэтому в грани АВСD проводим отрезок FK║BC. Соединяем точки Е и К.
MEKF - искомое сечение.
2) В задании пунктов а) и в) точка М расположена одинаково. В пункте а) не сказано, как проходит сечение, а через одну точку можно провести бесконечно много сечений. Поэтому эти пункты объединим, стоим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно прямым АС и BD.
а) и в) Проведем в грани ACD МК║АС, а в грани BCD МР║BD.
МР║BD, а значит и плоскости ABD. Сечение проходит через МР и пересекает ABD, значит линия пересечения параллельна BD. Проводим КЕ║BD.
МК║АС, а значит и плоскости АВС. Сечение проходит через МК и пересекает АВС, значит линия пересечения параллельна АС. Значит получилось, что ЕР║АС.
МКЕР - искомое сечение. Имеет вид параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны (МК и РЕ параллельны АС, значит МК║РЕ, КЕ и МР параллельны BD, значит КЕ║МР).
Сечение может быть ромбом, если речь идет о правильном тетраэдре и точка М будет серединой стороны CD. Тогда все стороны сечения будут средними линиями граней тетраэдра и будут равны.
б) Соединим точки, находящиеся в одной грани: М и N, N и К.
Прямая MN лежит в грани BCD, эта грань пересекает плоскость грани ABD по прямой BD. Продлим MN до пересечения с прямой BD (точка Р).
Теперь точки Р и К лежат в плоскости одной грани ABD; проводим прямую РК. Она пересечет ребро AD в точке Т.
Соединяем М и Т.
МNKT - искомое сечение.
Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой.
ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значит
ВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3
ОА = 3/5 АВ
АМ = 1/2 АВ
ОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.
МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6
ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значит
ММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6
ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.
2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
∠(АС; α) = ∠АСН
∠(АВ; α) = ∠АВН
ΔАСН: ∠АНС = 90°
sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2
∠ACH = 45°.
АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°,
sin∠ABH = AH/AB = 2√2/(4√2) = 1/2
∠ABH = 30°
3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым.
1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁.
KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В.
2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна ВС₁.
KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости).
3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов.
ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 см
Sbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см²
ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников).
k = 1/2.
Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²