Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.Начертите

Даны координаты:  A1(1,8,2) , A2(5,2,6, A3(5,7,4) , A4(4,10,9).

1) Определяем вектор: А1А2: (5-1=4; 2-8=-6; 6-2=4) =(4; -6; 4).

Модуль А1А2 равен √(16 + 36 + 16) = √68 = 2√17.

2) Определяем вектор: А3А4: (4-5=-1; 10-7=3; 9-4=5) =(-1; 3; 5).

Модуль А3А4 равен √(1 + 9 + 25) = 35.

Находим косинус угла между векторами А1А2 и А3А4

cos А = |4*(-1)+(-6*3+4*5|/(2√17*√35) = 2/(2*√595) =  0,040996.

Угол равен 1,5298 радиан или 87,6504 градуса.

3) Площадь можно найти двумя

-а) по формуле Герона (найдя длины сторон),

-б) по векторам.

а) Периметр Р         Полупериметр р    p - a         p - b  p - c

       18,214             9,107           0,8608       3,722     4,5244

p(p-a)(p-b)(p-c) = 132 .

Площадь S = √132 ≈ 11,48913.

б)  A1(1,8,2) , A2(5,2,6, A3(5,7,4)

вектор: А1А2: = (4; -6; 4) (уже определён ранее).

вектор: А1А3: (5-1=4; 7-8=-1; 4-2=2) =(4; -1; 2).

Находим их векторное произведение:

 i       j       k |      i        j

4     -6      4 |     4       -6

4      -1       2 |     4       -1     =  -12i + 16j - 4k - 8j + 4i + 24k =

                                          =  -8i + 8j  + 20k.

S = (1/2)√(64 + 64+ 400) = (1/2)√528 = (1/2)*2√132 = √132 = 11,48913 .

Объяснение:

Диагонали точкой пересечения делятся пополам в точке О.

Найдем координаты  О по формулам середины отрезка:

А( 1 ; 0) ,С( -5 ;6). О-середина АС ,

х(О)= ( х(А)+х(С) ):2                   у(О)= ( у(А)+у(С) ):2

х(О)=(1-5):2=-2                          у(О)= (0+6):2=3

О(-2 ;3)

В( 1;2) ,О( -2 ;3). О-середина ВД , найдем координаты т Д.

х(О)= ( х(В)+х(Д) )/2                   у(О)= ( у(В)+у(Д) )/2

2*х(О)= х(В)+х(Д)                      2*у(О)= у(В)+у(Д)  

х(Д) = 2*х(О)-х(В)                      у(Д) = 2*у(О)-у(В)  

х(Д) = 2*(-2)-1                             у(Д) = 2*3-2

х(Д) = -5                                      у(Д) = 4

Д(-5; 4)