Докажите,что в правильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 (рис.11.8) данные прямые и плоскость перпендикулярны: а) аа1 и авс; б) ав и bdd1 в) ас и cdd1 ; г) ас и вее1; д) ad и сее1; е) ав1 и bde1.
1. Общая формула для выражения радиуса описанной окружности R через сторону правильного n-угольника a:
Тогда для квадрата:
а для правильного пятиугольника:
Т.к. радиус окружности не изменяется, то можем записать:
ответ: сторона правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность примерно 39,9 см
2. Площадь кольца ограниченного двумя концентрическими окружностями равна разности площадей большей и меньшей окружности.
Если обозначить радиус большей окружности через R, а меньшей окружности через r, то площадь кольца равна:
ответ: площадь кольца, ограниченного двумя окружностями равна 40π см²
3. Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой равна разности площадей сектора OAB и треугольника OAB.
ΔOAB равнобедренный с углом при вершине 60°, следовательно углы при основании равны (180° - 60°) / 2 = 60°. Т.е. ΔOAB - равносторонний и радиус окружности R = OA = AB = 4 м.
Площадь равностороннего треугольника выражается через его сторону по формуле:
Площадь сектора круга через угол α стягивающей его дуги и радиус окружности R найдем по формуле:
Площадь заданной фигуры равна:
ответ: Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой примерно 1,45 м²
Теорема синусов: в треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла - величина постоянная. a : sin α = b : sin β sinβ = b · sin α / a По найденному синусу угла по таблице находим угол.
1) a = 3 м , b = 5 м , α = 30 ° sin β = 5 · sin 30° / 3 = 5 · 1/2 / 3 = 5/6 ≈ 0,8333 β ≈ 56°
2) a = 8 м , b = 7 м , α = 60° sin β = 7 · sin 60° / 8 = 7 · √3/2 /8 = 7√3/16 ≈ 0,7578 β ≈ 49°
3) a = 2√2 см , b = 3 см , α = 45° sin β = 3 · sin 45° / (2√2) = 3 · √2/2 / (2√2) = 3/4 = 0,75 β ≈ 49°
4) a = 6 см , b = 2√3 см , α = 120° sin β = 2√3 · sin 120° / 6 = √3 · (√3/2) / 3 = 3 / 6 = 1/2 = 0,5 β = 30°
1. Общая формула для выражения радиуса описанной окружности R через сторону правильного n-угольника a:
Тогда для квадрата:
а для правильного пятиугольника:
Т.к. радиус окружности не изменяется, то можем записать:
ответ: сторона правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность примерно 39,9 см
2. Площадь кольца ограниченного двумя концентрическими окружностями равна разности площадей большей и меньшей окружности.
Если обозначить радиус большей окружности через R, а меньшей окружности через r, то площадь кольца равна:
ответ: площадь кольца, ограниченного двумя окружностями равна 40π см²
3. Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой равна разности площадей сектора OAB и треугольника OAB.
ΔOAB равнобедренный с углом при вершине 60°, следовательно углы при основании равны (180° - 60°) / 2 = 60°. Т.е. ΔOAB - равносторонний и радиус окружности R = OA = AB = 4 м.
Площадь равностороннего треугольника выражается через его сторону по формуле:
Площадь сектора круга через угол α стягивающей его дуги и радиус окружности R найдем по формуле:
Площадь заданной фигуры равна:
ответ: Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой примерно 1,45 м²
a : sin α = b : sin β
sinβ = b · sin α / a
По найденному синусу угла по таблице находим угол.
1) a = 3 м , b = 5 м , α = 30 °
sin β = 5 · sin 30° / 3 = 5 · 1/2 / 3 = 5/6 ≈ 0,8333
β ≈ 56°
2) a = 8 м , b = 7 м , α = 60°
sin β = 7 · sin 60° / 8 = 7 · √3/2 /8 = 7√3/16 ≈ 0,7578
β ≈ 49°
3) a = 2√2 см , b = 3 см , α = 45°
sin β = 3 · sin 45° / (2√2) = 3 · √2/2 / (2√2) = 3/4 = 0,75
β ≈ 49°
4) a = 6 см , b = 2√3 см , α = 120°
sin β = 2√3 · sin 120° / 6 = √3 · (√3/2) / 3 = 3 / 6 = 1/2 = 0,5
β = 30°