В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 30°, AB=BC=6, проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.
——————————
ответ: 4,5 (ед. длины)
Объяснение:
Из ∆ ВDC катет DC противолежит углу 30° ⇒ DC=ВС:2= 6:2=3 (свойство).
Высота прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
AC однозначно не находится. 1 случай. B - острый угол⇒cos B=0,6, ясно, что наш Δ - "удвоенный египетский". Если есть сомнения, давайте применим теорему косинусов: AC^2=AB^2+BC^2-2AC·BC·cos B=36+100-2·6·10·0,6=64; AC=8, по теореме, обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный. sin A=sin 90°=1
2 случай. B - тупой угол, cos B= - 0,6; AC^2=AB^2+BC^2-2AC·BC·cos B=36+100+2·6·10·0,6=208; AC=√208=4√13
Синус угла A найдем по теореме синусов: BC/sin A=AC/sin B; sin A=10·0,8/(4√13)=2√13/13
2. Опускаем ⊥ AE и DF на BC; EF=AD=7; BE=CF=(23-7)/2=8. Из прямоугольного ΔABE находим AE=6 - высота трапеции. S=полусумма оснований умножить на высоту=90.
В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 30°, AB=BC=6, проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.
——————————
ответ: 4,5 (ед. длины)
Объяснение:
Из ∆ ВDC катет DC противолежит углу 30° ⇒ DC=ВС:2= 6:2=3 (свойство).
Высота прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
Угол BСD=90°-∠DBC=90°-30°=60°, угол ЕDC=30°.
CD - гипотенуза прямоугольного ∆ СЕD, катет ЕС противолежит углу 30°,⇒ ЕС=СD:2=3:2=1,5 ⇒
ВЕ=6-1.5=4,5
Или:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на неё.
СD²=BC•EC. Из найденного СD=3.
3²=6•CE ⇒ CE=1,5 a BE=BC-CE=6-1,5=4,5
AC однозначно не находится.
1 случай. B - острый угол⇒cos B=0,6, ясно, что наш Δ - "удвоенный египетский". Если есть сомнения, давайте применим теорему косинусов:
AC^2=AB^2+BC^2-2AC·BC·cos B=36+100-2·6·10·0,6=64; AC=8, по теореме, обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный.
sin A=sin 90°=1
2 случай. B - тупой угол, cos B= - 0,6;
AC^2=AB^2+BC^2-2AC·BC·cos B=36+100+2·6·10·0,6=208;
AC=√208=4√13
Синус угла A найдем по теореме синусов:
BC/sin A=AC/sin B; sin A=10·0,8/(4√13)=2√13/13
2. Опускаем ⊥ AE и DF на BC; EF=AD=7; BE=CF=(23-7)/2=8.
Из прямоугольного ΔABE находим AE=6 - высота трапеции.
S=полусумма оснований умножить на высоту=90.
tg B=tg C=AE/BE=3/4; tg A=tg D=tg(180-B)-tg B=-3/4
3. Из прямоугольного ΔACB ⇒ cos B=CB/AB
Из прямоугольного ΔBCH ⇒ cos B=HB/CB⇒
CB/AB=HB/CB⇒ CB^2=AB·HB