Нехай сторона паралелограма з гострим кутом 60° дорівнює a, а інша сторона - b. Тоді площа паралелограма дорівнює S = a * b * sin(60°) = (1/2) * a * b.
За умовою задачі, площа паралелограма дорівнює 21√3 см², тому ми можемо записати: (1/2) * a * b = 21√3.
Також задано, що периметр паралелограма дорівнює 26 см, що означає, що сума довжин усіх сторін паралелограма становить 26 см: 2a + 2b = 26.
Ми маємо систему рівнянь: (1/2) * a * b = 21√3, 2a + 2b = 26.
Розв'яжемо цю систему рівнянь.
З другого рівняння виразимо a: a = 13 - b.
Підставимо це значення в перше рівняння: (1/2) * (13 - b) * b = 21√3.
Для доказательства того, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, мы можем использовать свойство трапеции и свойства окружности, проходящей через точки B и C.
а) Доказательство: Из свойств трапеции мы знаем, что сумма углов, противолежащих основаниям, равна 180 градусам.
У нас есть трапеция ABCD, где AD || BC.
Из этого следует, что угол BCD и угол BAD смежные углы и, следовательно, их сумма равна 180 градусам.
Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки B и C. Для окружности секущие, проходящие через одну точку, образуют равные хорды.
Таким образом, поскольку P лежит на хорде BM и на хорде CN, отрезки BM и CN равны.
Из того, что М и N - середины сторон АВ и CD, мы также знаем, что BM = MN = NC.
Таким образом, получаем BM = MN = NC = BP = PC.
Мы имеем BM = MN = NC = BP = PC, что означает, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Чтобы найти PM, нам нужно использовать теорему о хордах, угле и дуге.
Из предыдущей части мы знаем, что BM = MN = NC = BP = PC. Также из теоремы о хордах и угле, если две хорды равны, то соответствующие им дуги равны.
Поскольку AB = 15, BC = 1, CD = 17 и AD = 9, то мы можем найти AC, используя сумму длин оснований:
AC = AB + BC + CD = 15 + 1 + 17 = 33.
Теперь мы можем найти длину хорды PQ, так как мы знаем, что хорда PQ равна длине AC:
PQ = AC = 33.
Так как M и N - середины сторон AB и CD соответственно, то PM равен половине длины хорды PQ:
За умовою задачі, площа паралелограма дорівнює 21√3 см², тому ми можемо записати:
(1/2) * a * b = 21√3.
Також задано, що периметр паралелограма дорівнює 26 см, що означає, що сума довжин усіх сторін паралелограма становить 26 см:
2a + 2b = 26.
Ми маємо систему рівнянь:
(1/2) * a * b = 21√3,
2a + 2b = 26.
Розв'яжемо цю систему рівнянь.
З другого рівняння виразимо a:
a = 13 - b.
Підставимо це значення в перше рівняння:
(1/2) * (13 - b) * b = 21√3.
Розкриємо дужки та спростимо рівняння:
(13b - b²) / 2 = 21√3,
13b - b² = 42√3.
Перепишемо рівняння у квадратній формі:
b² - 13b + 42√3 = 0.
Розв'яжемо це квадратне рівняння для b. Використаємо квадратне рівняння:
b = (13 ± √(13² - 4 * 1 * 42√3)) / 2,
b = (13 ± √(169 - 168√3)) / 2,
b = (13 ± √(169 - 168√3 + 252)) / 2,
b = (13 ± √(421 - 168√3)) / 2.
Зауважте, що √(421 - 168√3) ≈ 6.74 (заокруглено до двох знаків після коми).
Тепер, знаючи b, ми можемо обчислити a:
a = 13 - b.
Підставимо значення b та a:
a = 13 - 6.74 ≈ 6.26 (заокруглено до двох знаків після коми),
b = 6.74.
Отже, сторони паралелограма з гострим кутом 60° дорівнюють приблизно 6.26 см
а) Доказательство:
Из свойств трапеции мы знаем, что сумма углов, противолежащих основаниям, равна 180 градусам.
У нас есть трапеция ABCD, где AD || BC.
Из этого следует, что угол BCD и угол BAD смежные углы и, следовательно, их сумма равна 180 градусам.
Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки B и C. Для окружности секущие, проходящие через одну точку, образуют равные хорды.
Таким образом, поскольку P лежит на хорде BM и на хорде CN, отрезки BM и CN равны.
Из того, что М и N - середины сторон АВ и CD, мы также знаем, что BM = MN = NC.
Таким образом, получаем BM = MN = NC = BP = PC.
Мы имеем BM = MN = NC = BP = PC, что означает, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Чтобы найти PM, нам нужно использовать теорему о хордах, угле и дуге.
Из предыдущей части мы знаем, что BM = MN = NC = BP = PC. Также из теоремы о хордах и угле, если две хорды равны, то соответствующие им дуги равны.
Поскольку AB = 15, BC = 1, CD = 17 и AD = 9, то мы можем найти AC, используя сумму длин оснований:
AC = AB + BC + CD = 15 + 1 + 17 = 33.
Теперь мы можем найти длину хорды PQ, так как мы знаем, что хорда PQ равна длине AC:
PQ = AC = 33.
Так как M и N - середины сторон AB и CD соответственно, то PM равен половине длины хорды PQ:
PM = PQ / 2 = 33 / 2 = 16.5.
Таким образом, РМ равно 16.5.