task/24836913 ---.---.---.---.--- Дан острый угол с вершиной в точке О и точка M внутри этого угла, не лежащая на биссектрисе этого угла. Найти на сторонах угла точки A и B такие, что периметр треугольника MAB- наименьший (метод симметрии) ---------------------------------------- Решение : Условия "не лежащая на биссектрисе этого угла" не существенно Построим точки M₁ и M₂ симметричные M относительно сторон угла (a и b соответственно ). Прямая M₁M₂ пересекает стороны a и b угла O в точках A и B . ΔMAB искомый. Действительно,периметр ΔMAB : P=MA+AB + MB =M₁A+AB + M₂B =M₁M₂. Периметр же любого другого треугольника, например, ΔMXY : P₁=MX+AB+ MY = M₁X+AB + M₂Y || длина ломаной M₁XYM₂|| >M₁M₂= P.
---.---.---.---.---
Дан острый угол с вершиной в точке О и точка M внутри этого угла, не лежащая на биссектрисе этого угла. Найти на сторонах угла точки A и B такие, что периметр треугольника MAB- наименьший (метод симметрии)
----------------------------------------
Решение :
Условия "не лежащая на биссектрисе этого угла" не существенно
Построим точки M₁ и M₂ симметричные M относительно сторон угла (a и b соответственно ). Прямая M₁M₂ пересекает стороны a и b угла O в точках A и B . ΔMAB искомый.
Действительно,периметр ΔMAB :
P=MA+AB + MB =M₁A+AB + M₂B =M₁M₂.
Периметр же любого другого треугольника, например, ΔMXY :
P₁=MX+AB+ MY = M₁X+AB + M₂Y || длина ломаной M₁XYM₂|| >M₁M₂= P.
рисунок см приложение
В прямоугольном треугольнике АВН , АВ равна 13, так как sinA=12/13, тогда по теореме Пифагора АН=√13^2-12^2 = 5
В прямоугольном треугольнике ВНС , ВН/ВС=4/5
12/ВС=4/5
ВС=15
тогда НС=√15^2-12^2= 9
Тогда АС=5+9=14 . По теореме синусов
15/12/13=2R
13*15/24 = R
R=8.125
Длина окружности
L=2*pi*8.125 = 16.25 pi
2) Я вычислил уже стороны они равны 15;14;13
по формуле Герона
p=(15+14+13)/2=21
S=√21*6*7*8 = 84
ответ 84
3) Найдем длину самой биссектрисы
так как
тогда по теореме косинусов , отрезок первый
тогда второй