Пусть АВ > ВС, тогда по свойству биссектрисы: AL/LC = AB/BC > 1 , также АО/ОС = 1 ⇒ точка L лежит правее точки ОПротив бОльшей стороны лежит бОльший угол : АВ > ВС ⇒ ∠С > ∠А. Чем больше угол, тем меньше значение косинуса этого угла ⇒ cos∠C < cos∠A AB/BC > 1 ; cos∠A / cos∠C > 1AH/HC = (AB•cos∠A) / (BC•cos∠C) = = (AB/BC) • (cos∠A /cos∠C) > AB/BCАО/ОС < ОL/LC < AH/HCЗначит, точка Н лежит правее точки L, то есть биссектриса прямого лежит между медианой и высотой прямого угла.Также можно ссылаться на то, что вершины L₁ и В перпендикуляров L₁О и ВН к АС лежат на биссектрисе BL.Аналогично доказывается случай, когда ВС > АВ. В случае прямоугольного равнобедренного треугольника, АВ = ВС биссектриса, медиана и высота совпадают.Данное доказательство можно применить и на произвольном треугольнике. Вывод: В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла не всегда лежит между медианой и высотой прямого угла.
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.
Пусть в ΔABC угол ABC прямой, BD — высота, BE — биссектриса и BF — медиана.
Так как BF = FC, то ∠CBF = ∠AСВ. Но
∠ABD = π/2 — ∠BAD = ∠ACB.
Следовательно, ∠ABD = ∠CBF.
Так как углы между биссектрисой и катетами равны по 45 градусов, то если от этих углов отнять равные величины, то и получим равные углы.
∠DBE = ∠ABE — ∠ABD = ∠CBE — ∠CBF = ∠FBE.
Значит, биссектриса всегда находится между высотой и медианой. Исключение - при равных катетах: тогда все эти линии совпадают.