Два пункта A и B расположены между двумя дорогами a и b. Где на этих дорогах должны быть пункты M и N (M принадлежит a, N принадлежит b), что бы путь AMNB был кратчайшим
Пусть ABC - остроугольный треугольник, H - точка пересечения высот, O - центр описанной окружности.
BB1 - диаметр. Так как B1A перп. AB и CH перп. AB, то CH II AB1; точно также AH II CB1; то есть фигура AHCB1 - параллелограмм.
=> AM = MC; и B1M = MH; другими словами, точка B1 симметрична точке H относительно середины стороны AC.
Точка H1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты BN; B1H1 перпендикулярно BH => B1H1 II AC => MN - средняя линия тр-ка HB1H1; => HN = NH1; другими словами, точка H1 симметрична точке H относительно стороны AC;
Чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные H относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.
Теперь - решение.
См. нижний рисунок.
Все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.
Так как H - точка пересечения медиан треугольника AED, то FH/AH = 1/2; из подобия тр-ков AHN и FPH PH/HM = FH/HA = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).
Так как ED - средняя линия ABC; ED II AB; то CP = PN; легко видеть, что, если PH = x (это просто обозначение), то HN = 2x; CP = 3x; => CH = 4x; => CH/HN = 2/1; ну, и CN = 6x;
=> HN = NC/3;
Если провести через точку H прямую KG II ED (и II AB), то AG/GD = AH/HF = 2/1;
=> точка G - точка пересечения медиан тр-ка ABC (AD - медиана ABC).
Поэтому медиана CM пройдет через точку G, а заодно - и через точку F, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.
Дальше все просто - из того, что EF = FD следует KH = HG; а это, в свою очередь, дает AN = NM; то есть AN = NB/3;
Теперь надо вспомнить теорию. Если описать окружность вокруг ABC, то H1N = NH = NC/3;
P1K - высота треугольника РР1N1
P1K = 8*корень(2)
P1Q = корень(8^2+15^2)=17
tg(KQP1) = P1K /P1Q = 8*корень(2)/17
угол KQP1= arctg( 8*корень(2)/17) ~ 33,64425 градус
2)
АК=3*корень(3^2+2^2)=3*корень(13)
АC=3*корень(2)
CК=3*корень(3^2+2^2)=3*корень(13)
CO - высота треугольника АСК
СО*АК=АС*корень(АК*АК-АС*АС/4)
СО=АС*корень(АК*АК-АС*АС/4)/АК=АС*корень(1-(АС/(2АК))^2)=
СО=3*корень(2)*корень(1-(3*корень(2)/(2*3*корень(13)))^2)=15/КОРЕНЬ(13)
tg(alpha)=C1C/СО=5*КОРЕНЬ(13)/15= КОРЕНЬ(13)/3
угол alpha=arctg(КОРЕНЬ(13)/3) ~ 50,23784 градус
3)
C1G=5*корень(2^2+1^2)=5*корень(5)
А1C1=5*корень(2)
A1G=5*корень(5)
A1O - высота треугольника А1С1G
A1О*C1G=А1С1*корень(C1G^2 –А1С1^2 /4)
A1О= А1С1*корень(C1G^2 –А1С1^2 /4)/ C1G= А1С1*корень(1 –(А1С1/2 C1G) ^2) = =5*корень(2)*корень(1 –(5*корень(2)/(2*5*корень(5))) ^2)=3*корень(5)
tg(alpha)=A1A/A1О=9/(3*КОРЕНЬ(5)) = 3/КОРЕНЬ(5)
угол alpha=arctg(3/КОРЕНЬ(5)) ~ 53,30077 градус
ответ: 45 градусов.
Объяснение:
Прежде, чем решить задачу - немного теории.
См. верхний рисунок.
Пусть ABC - остроугольный треугольник, H - точка пересечения высот, O - центр описанной окружности.
BB1 - диаметр. Так как B1A перп. AB и CH перп. AB, то CH II AB1; точно также AH II CB1; то есть фигура AHCB1 - параллелограмм.
=> AM = MC; и B1M = MH; другими словами, точка B1 симметрична точке H относительно середины стороны AC.
Точка H1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты BN; B1H1 перпендикулярно BH => B1H1 II AC => MN - средняя линия тр-ка HB1H1; => HN = NH1; другими словами, точка H1 симметрична точке H относительно стороны AC;
Чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные H относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.
Теперь - решение.
См. нижний рисунок.
Все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.
Так как H - точка пересечения медиан треугольника AED, то FH/AH = 1/2; из подобия тр-ков AHN и FPH PH/HM = FH/HA = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).
Так как ED - средняя линия ABC; ED II AB; то CP = PN; легко видеть, что, если PH = x (это просто обозначение), то HN = 2x; CP = 3x; => CH = 4x; => CH/HN = 2/1; ну, и CN = 6x;
=> HN = NC/3;
Если провести через точку H прямую KG II ED (и II AB), то AG/GD = AH/HF = 2/1;
=> точка G - точка пересечения медиан тр-ка ABC (AD - медиана ABC).
Поэтому медиана CM пройдет через точку G, а заодно - и через точку F, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.
Дальше все просто - из того, что EF = FD следует KH = HG; а это, в свою очередь, дает AN = NM; то есть AN = NB/3;
Теперь надо вспомнить теорию. Если описать окружность вокруг ABC, то H1N = NH = NC/3;
Для двух хорд CH1 и AB
AN*NB = H1N*NC; => NC*NC/3 = NB*NB/3; => NC = NB;
треугольник CNB - прямоугольный равнобедренный.