Два угла треугольника равны 45° и 120°, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 8. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена такая точка М, что ВМ : МС = 1 : 3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна S?

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Точка М ∈ ВС.

ВМ : МС = 1 : 3.

S(ABCD) - S.

Найти:

S(ΔАВМ) = ?

Пусть ВМ = х, тогда МС = 3х, АВ = у. Площадь ΔАВМ обозначим как S₁.

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон и синусу угла между ними.

Следовательно -

S(ABCD) = ВС*АВ*sin (∠В)

ВС = ВМ+МС = х+3х = 4х.

То есть -

S = 4ху*sin (∠В)

Рассмотрим ΔАВМ.

Площадь треугольника равна половине произведения смежных сторон и синуса угла меду ними.

То есть -

S(ΔАВМ) = 0,5*ВМ*АВ*sin (∠В)

S₁ = 0,5*хy*sin (∠В).

Из первого уравнения системы следует, что -

Подставим это значения во второе уравнение системы -

S(ΔАВМ) = S(ABCD)/8

S(ΔАВМ) = S/8.

ответ: S/8.

обозначим меньший треугольник АВС, больший треугольник А1В1С1, 

по условию эти треугольники подобны... 

Р(АВС) : Р(А1В1С1) = 4:5 (это и есть коэффициент подобия)

известно:

периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия,

площади относятся как квадрат коэффициента подобия

(объемы относятся как куб коэфф.подобия) 

S(АВС) : S(А1В1С1) = 16:25

или 25*S(АВС) = 16*S(А1В1С1) 

S(А1В1С1) = (25/16)* S(АВС)     АВС--меньший треугольник

S(А1В1С1) - S(АВС) = 27 (см²) (по условию)

(25/16)*S(АВС) - S(АВС) = 27 (см²) 

S(АВС)*((25/16) - 1) = 27 (см²) 

S(АВС)*(9/16) = 27 

S(АВС) = 27*16/9 = 3*16 = 48 (см²)