ё
В треугольнике MNK: MN = NK, MK = 10. Площадь равна 60. Найдите: А) Высоту проведённую к основанию; Б) Медиану NL; В) Радиус вписанной окружности; Г) Радиус описанной окружности; Е) Точка Е лежит на NМ , F лежит на NK, точки P, J лежат на MK, EP перпендикулярна MK, EP параллельна FJ. ME:EN = NF:FK = 5:8, EF пересекает NL в точке S. Найти: ES:SF и SPEFJ. Д) Найти отрезки на которые делит биссектриса треугольника сторону NK.

Дано :

∆АВС — прямоугольный (∠С = 90°).

AD = BD.

АС = 12, CD = 10.

Найти :

S(∆ABC) = ?

Так как D — середина АВ, то CD — медиана ∆АВС (по определению).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Следовательно, АВ = 2CD = 2*10 = 20.

По теореме Пифагора найдём длину катета СВ :

AB² = AC² + CB²

CB² = AB² - AC² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256 => CB = √CB² = √256 = 16.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следовательно, S(∆ABC) = ½*AC*CB = ½*12*16 = 96 (ед²).

96 (ед²).

Можно сообразить. Есть теорема, утверждающая, что если соединить все соседние середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм. Получим: средние линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда там ромб. Это бывает тогда и только тогда, когда равны соседние стороны. А это равносильно равенству диагоналей (т. к. они вдвое больше по свойству средней линии треугольника) . Вот такое доказательство, по крайней мере, для выпуклого четырехугольника. Для невыпуклого, если надо, можно привести аналогичные рассуждения.