Геометрия 8 класс. У трикутнику АВС АВ = 8 см, АС = 12 см, ВС = 10 см.
Знайдіть відрізки, на які бісектриса АN ділить сторону
ВС.

Через точки М и N проведем FK - среднюю линию трапеции .Тогда МК- средняя линия треугольника АСD , а NK - средняя линия треугольника ВСD.

Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна половине этой стороны.

MN=MK-NK 

МК=10:2=5

NK=4:2=2

MN=5-2=3 

MN=3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             ?f 

Поскольку угол В = 2 угла А, а биссетриса делит угол В пополам,

то уг. АВД = уг. А, и тр-к АВД -равнобедренный, т.е. ВД = АД.

В тр-ке АВД угол ВДА = 180° - 2уг.А, тогда в тр-ке ВСД угол ВДС = 2уг.А, а уг.ДВС = уг.АВД = уг.А т.к. ВД - биссектриса.

По теореме синусов для тр-ка ВСД:

200:125 = sin уг.2А : sin уг.А

1,6 = 2sin уг.А·cos уг.А : sin уг.А

1,6 = 2·cos уг.А

cos уг.А = 0,8, тогда sin уг. А  = √(1 - 0,8²) = √(1 - 0,64) = √0,36 = 0,6

по теореме косинусов для тр-ка ВДС найдём его сторону (искомую биссектису) ВД

ДС² = ВС² + ВД² - 2·ВС·ВД·cos уг.А

125² = 200² + ВД² - 2·200·ВД·0,8

-24375 = - 320ВД + ВД²

 ВД² - 320ВД + 24375 = 0

D = 102400 - 97500 = 4900

√D = 70

ВД₁ = (320 - 70):2 = 125

ВД₂ = (320 + 70):2 = 195

ответ: ВД₁ = 125, ВД₂ = 195