Геометрия MM — середина стороны BCBC равностороннего треугольника ABCABC. Точки DD и EE на сторонах ABAB и ACAC соответственно таковы, что ∠DME=60∘∠DME=60∘. Найдите BD+CEBD+CE, если AB=17AB=17, DE=10DE=10.​

Найдем стороны четырехугольника АВСD:
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА.
АВ{-1;-1;2}, |AB|=√(1+1+4)=√6.
BC{1;-1;0}, |BC|=√(1+1+0)=√2.
CD{1;1;-2},|CD|=√(1+1+2)=√6.
AD{1;-1;0}, |AD|=√(1+1+0)=√2.
Итак, в четырехугольнике противоположные стороны ПОПАРНО равны: AB=CD, BC=DA.
Если противоположные стороны ПОПАРНО равны, то четырехугольник АВСD - параллелограмм.(свойство).
Что и требовалось доказать.
Теперь определим угол между двумя соседними векторами АВ{-1;-1;2} и AD{1;-1;0}.
Угол α между вектором a и b:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+x2²)].
В нашем случае: cosα=(1+1+0)/[√(1+1+4)*√(1+1+0)] = 2/(2√3) = 1/√3 или
CosA=√3/3.

Построим равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Проведем высоты АД и ВЕ.
Рассмотрим треугольники ACД и BCЕ. 
AC=BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника), угол АСВ - общий, углы AДC=BЕC=90 (так как AД и BЕ высоты). 
Сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
В треугольнике ACД угол CAД=180-(AДC+АСВ)=180 - 90 - АCВ=90-АСВ градусов. 
В треугольнике BCЕ угол CBЕ=180- (BЕC+АСВ)=180- 90 -АСВ=90-АCВ градусов. 
Значит: углы CAД=CBЕ. 
Следовательно, треугольники ACД и BCЕ равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 
Так как треугольники ACД и BCЕ равны то и соответствующие стороны равны: AД=BЕ.