геометрия векторы 1) дан треугольник ABC и две точки D и E, не лежащие в его плоскости. докажите, что при выполнении равенства DE = хАВ+уАС пирамида DE параллельна плоскости ABC 2)в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка М лежит на стороне ВС, ВМ=МС, АВ=р, АО=q . выразите вектор АМ через векторы р и q
Пусть векторы AB и AC соответствуют сторонам треугольника ABC, а векторы AD и AE - векторам, проведенным из вершины треугольника до точек D и E соответственно.
Так как вектор DE представлен в виде суммы векторов хAB+уАС, то его можно записать как векторную сумму двух векторов: хаб и уас.
DE = хAB + уAC
Следовательно, мы можем записать векторное произведение AB и AC равным нулю.
AB x AC = 0
Потому что AB и AC - это два неколлинеарных вектора, указывающих на линейно независимые стороны треугольника.
Когда мы вычисляем векторное произведение, например, AB x AC, мы получаем нормальный вектор плоскости ABC, а его модуль равен площади треугольника ABC, умноженной на 2.
Таким образом, мы можем записать условие равенства модуля векторного произведения нулю:
|AB x AC| = 0
Если мы раскроем модуль, то получим:
|(AB x AC)| = AB x AC = 0
Теперь мы можем записать вектор DM в виде векторного произведения AB x AD и вектора AE:
DM = AB x AD + AE
Также мы можем записать вектор DN в виде векторного произведения AC x AE и вектора AD:
DN = AC x AE + AD
Теперь предположим, что пирамида DE не параллельна плоскости ABC. Это означает, что вектор DM и вектор DN имеют неколлинеарные направления.
Таким образом, мы можем записать следующее условие, используя векторное произведение нулевого модуля:
DM x DN = 0
Если мы раскроем векторное произведение и сократим его до 0, получим:
(AB x AD + AE) x (AC x AE + AD) = 0
Раскроем скобки, используя свойство распределения векторного произведения:
(AB x AD) x (AC x AE) + (AB x AD) x AD + AE x (AC x AE) + AE x AD = 0
Теперь рассмотрим каждую часть выражения по отдельности:
1) (AB x AD) x (AC x AE) = 0
Это верно, поскольку вектор AB x AD и вектор AC x AE - это два вектора, которые указывают в разных направлениях, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.
2) (AB x AD) x AD = 0
Это также верно, поскольку вектор AB x AD и вектор AD - это два коллинеарных вектора, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.
3) AE x (AC x AE) = 0
Это верно, потому что вектор AE и вектор AC x AE - это два вектора, которые указывают в разных направлениях, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.
4) AE x AD = 0
Это также верно, поскольку вектор AE и вектор AD - это два коллинеарных вектора, поэтому их векторное произведение будет равно нулю.
Таким образом, получаем:
0 + 0 + 0 + 0 = 0
Из этого следует, что мы получили нулевое векторное произведение, что противоречит нашему предположению о неколлинеарности векторов DM и DN.
Следовательно, пирамида DE параллельна плоскости ABC.
2) Чтобы выразить вектор АМ через векторы р и q, мы можем использовать свойства параллелограмма.
Пусть векторы AB и AC соответствуют сторонам параллелограмма ABCD, а векторы AM и MC - векторам, проведенным от точки М до точек A и C соответственно.
Так как ВМ=МС, то вектор ВМ можно заменить вектором МС:
BM = MC
Также известно, что АМ + МС = AC (поскольку М - это точка, которая лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD).
Теперь мы можем записать выражение для вектора АМ, подставив вектор МС вместо вектора ВМ:
AM = AC - МС
AM = AC - BM
Также по условию задачи известно, что АВ = р, АО = q. Мы можем использовать эти значения, чтобы выразить векторы AB и AC через векторы р и q:
AB = AO + OB
AB = q + р
AC = AO + OC
AC = q + OC
Теперь подставим полученные значения в выражение для вектора АМ:
AM = (q + OC) - BM
AM = (q + OC) - (MC)
AM = (q + OC) - (MC)
AM = q + (OC - MC)
AM = q + (OC - MC)
Таким образом, вектор АМ можно выразить через векторы р и q:
AM = q + (OC - MC)