Дано: ∆ABC - равнобедренный ∆A1B1C1 - равнобедренный AB = A1B1 ∠A = ∠A1 AM - медиана ∆ABC A1M1 - медиана ∆A1B1C1 ------------------------------------- Доказать, что AM = A1M1
Док-во:
Рассмотрим ∆ABC и ∆A1B1C1. ∠B = ∠C = (180° - ∠A)/2 ∠B1 = ∠C1 = (180° - ∠A1)/2 ∠A = ∠A1 => ∠B = ∠B1 ∠A = ∠A1 ∠B = ∠B1 AB = A1B1 Значит, ∆ABC = ∆A1B1C1 - по II признаку. Из равенства треугольников =. BC = B1C1 и AC = A1C1
Рассмотрим ∆AMC и ∆A1M1C1. MC = 1/2BC M1C1 = 1/1B1C1 BC = B1C1 => MC = M1C1. ∠C = ∠C1 AC = A1C1 Значит, ∆AMC = ∆A1M1C1 - по I признаку. Из равенства треугольников => AM = A1M1.
Возьмем точки А и В так, чтобы XKNA и XLMB были параллелограммами и продлим XY за точку Y на свою длину до точки С (см. рис). Треугольник ANY равен треугольнику BMY по двум сторонам и углу между ними (AN=XK=XL=BM, NY=MY и ∠ANY=∠BMY как внутренние накрест лежащие, т.к. АN||KL||MB и MN - секущая). Значит AY=BY, т.е. AXBC - параллелограмм. Тогда ∠KVX=∠AXY=∠XCB, ∠LWX=∠BXC, BC=XA=KN и BX=LM, а т.к. по условию LM<KN, то BX<BС. Т.к. в любом треугольнике (в том числе XCB) напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то ∠XCB<∠BXC, а значит и ∠KVX<∠LWX.
∆ABC - равнобедренный
∆A1B1C1 - равнобедренный
AB = A1B1
∠A = ∠A1
AM - медиана ∆ABC
A1M1 - медиана ∆A1B1C1
-------------------------------------
Доказать, что AM = A1M1
Док-во:
Рассмотрим ∆ABC и ∆A1B1C1.
∠B = ∠C = (180° - ∠A)/2
∠B1 = ∠C1 = (180° - ∠A1)/2
∠A = ∠A1 => ∠B = ∠B1
∠A = ∠A1
∠B = ∠B1
AB = A1B1
Значит, ∆ABC = ∆A1B1C1 - по II признаку.
Из равенства треугольников =. BC = B1C1 и AC = A1C1
Рассмотрим ∆AMC и ∆A1M1C1.
MC = 1/2BC
M1C1 = 1/1B1C1
BC = B1C1 => MC = M1C1.
∠C = ∠C1
AC = A1C1
Значит, ∆AMC = ∆A1M1C1 - по I признаку.
Из равенства треугольников => AM = A1M1.