Три стороны одинаковые, AB = BC = CD. Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD. Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник. Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма). Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета). Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа). Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b. Получаем систему { a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD) { a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD) { (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD) { ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC) Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение 2y - 2b = 0 b = y Подставляем { 3a + 2b = 180 { a + 4b = 180 Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение 2a - 2b = 0 a = b То есть все три угла равны друг другу a = b = y 3a + 2a = 5a = 180 a = b = y = 180/5 = 36 градусов. Самый большой угол y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.
Решение задачи ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1
НАЙТИ: p ( A ; CB1 )
1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.
Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.
Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный
Найдём все стороны ∆ АВ1С
2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):
По теореме Пифагора:
АВ1² = АВ² + ВВ1²
АВ1² = 1² + 1² = 2
АВ1 = √2
АВ1 = В1С = √2
3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.
Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):
По теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABC
AC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120°
AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3
AC = √3
4) B1B перпендикулярен ВН
ВН перпендикулярен АС
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АС
Высота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>
АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/2
5) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):
По теореме Пифагора:
В1С² = В1Н² + НС²
В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4
В1Н = √5/2
Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С )
6) Найдём площадь ∆ В1АС:
S b1ac = 1/2 × AC × B1H
С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AM
Приравняем площади и получим:
1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМ
АС × В1Н = В1С × АМ