Итоговая контрольная работа по геометрии
8 класс
1 вариант
1. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10см, 10см и 12 см.
2. В параллелограмме две стороны 12 и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.
3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите плошадь трапеции.
4. В треугольнике АВС прямая MN параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=15 см и NC=5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если AC=15 см.
5. В прямоугольном треугольнике ABC ZC =90° AC=8 см, ZABC =45°. Найдите:
a)AC: б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.
6. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого С-прямой, катет BC=6 см и ZA=60° Найдите:
a) остальные стороны ДАВС
б) площадь ДАВС
В данном случае сторона треугольника, которая является основанием, равна 12 см. Для нахождения высоты треугольника, нам необходимо разделить основание на две части и провести высоту из вершины треугольника, которая будет перпендикулярна основанию.
Поскольку треугольник равнобедренный, его высота будет являться биссектрисой основания. Биссектриса делит основание на две равные части, поэтому высота будет делить основание на две равные длины.
Подставим известные значения в формулу и решим ее:
Высота = 10 / 2 = 5 см
Площадь = (12 * 5) / 2 = 30 см²
Ответ: площадь равнобедренного треугольника равна 30 см².
2. Чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем воспользоваться формулой: S = сторона * высота.
В параллелограмме одно из углов равно 150°, что означает, что он разделен на два равных треугольника. Также известно, что стороны равны 12 и 16 см.
Чтобы найти высоту параллелограмма, мы можем использовать теорему синусов для одного из треугольников. Теорема синусов гласит: отношение длин стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех треугольников. В данном случае, у нас известны стороны 12 и 16 см, а угол равен 150°. Пользуясь теоремой синусов, мы можем найти высоту параллелограмма.
sin(150°) = высота / 12
Высота = 12 * sin(150°)
Высота ≈ 6 см
Теперь у нас есть сторона и высота. Подставим значения в формулу и решим ее:
Площадь = 12 * 6 ≈ 72 см²
Ответ: площадь параллелограмма равна около 72 см².
3. Чтобы найти площадь трапеции, мы можем воспользоваться формулой: S = ((основание1 + основание2) * высота) / 2.
В данном случае у нас известны основания 10 и 20 см, а также боковая сторона 13 см. Поскольку трапеция равнобедренная, высота, опущенная из вершины до основания, будет одинакова с боковой стороной.
Высота = 13 см
Подставим известные значения в формулу и решим ее:
Площадь = ((10 + 20) * 13) / 2 = 330 / 2 = 165 см²
Ответ: площадь трапеции равна 165 см².
4. Чтобы найти длину отрезка MN, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Поскольку прямая MN параллельна стороне АС, и BN делит сторону ВС, а НС делит сторону АС, мы можем использовать свойство подобия треугольников для нахождения отношения длин отрезков.
Поскольку BN = 15 см, а NC = 5 см, отношение BN к NC будет равно отношению длин сторон BN к НС.
BN / NC = ВМ / МА
Поскольку BN + NC = BC = 15 см, мы можем подставить значения и решить уравнение:
15 / 5 = ВМ / МА
3 = ВМ / МА
Теперь, имея это отношение, мы можем найти длину отрезка MN. Поскольку отношение BN к НС равно отношению ВМ к МА, мы можем установить равенство BN / НС = ВМ / МА.
BN / 5 = ВМ / МА
Поскольку BN = 15 см, мы можем подставить значения и решить уравнение:
15 / 5 = ВМ / МА
3 = ВМ / МА
Теперь у нас есть уравнение, в котором отношение длин сторон ВМ к МА равно 3. Отношение ВМ к МА равно 3, значит, ВМ должна быть в 3 раза длиннее МА.
Так как AC = 15 см, отношение сторон ВМ к МА будет равно:
ВМ = 3 * МА = 3 * (15 - ВМ)
Решим это уравнение:
Получаем: ВМ = 3 * 15 - 3 * ВМ
4 * ВМ = 3 * 15
ВМ = (3 * 15) / 4
ВМ = 11.25 см
Ответ: длина отрезка MN равна 11.25 см.
5. a) Чтобы найти отношение AC, мы можем использовать теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC. Теорема синусов гласит: отношение длин сторон к синусу противолежащего им угла одинаково для всех треугольников.
sin(ZABC) = AC / BC
sin(45°) = AC / 8
√2 / 2 = AC / 8
Умножим обе части уравнения на 8:
4√2 = AC
Ответ: AC = 4√2 см.
b) Чтобы найти высоту CD, проведенную к гипотенузе, мы можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC мы знаем, что: AB² + BC² = AC².
В данном случае, мы знаем, что AC = 8 см, а угол ZC = 90°. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы BC:
AC² = AB² + BC²
8² = AB² + BC²
64 = AB² + BC²
Так как ZABC = 45°, то треугольник ABC является равнобедренным, и стороны AB и BC равны. Пусть x - длина стороны AB и BC.
64 = x² + x²
64 = 2x²
32 = x²
Теперь мы знаем длину стороны AB и BC, которая равна √32.
Чтобы найти высоту CD, мы можем использовать свойство подобия прямоугольных треугольников. Высота CD будет составлять сторону маленького подобного треугольника. Сам треугольник будет подобным прямоугольному треугольнику ABC.
AB / CD = BC / AC
√32 / CD = √32 / 8
Теперь мы можем решить это уравнение:
CD = (8 * √32) / √32
CD = 8 см
Ответ: высота CD, проведенная к гипотенузе, равна 8 см.
6. a) Чтобы найти остальные стороны треугольника АВС, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В данном случае, мы уже знаем, что сторона BC равна 6 см. Также, у нас дан угол ZA, который равен 60°.
Угол ZAB = 90° - 60° = 30°
Зная одну из сторон треугольника и угол, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения остальных сторон.
Если мы рассмотрим треугольник АВС, где сторона ВС является гипотенузой, сторона AB - катет, и угол ZAB - прямой, то мы можем использовать sin и cos для нахождения других сторон.
Угол ZAB = 30°
sin(30°) = ДС / 6
0.5 = ДС / 6
ДС = 3 см
cos(30°) = CA / 6
√3 / 2 = CA / 6
CA = (6 * √3) / 2
CA = 3√3 см
Ответ: стороны ДС и СА равны 3 см и 3√3 см соответственно.
б) Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем воспользоваться формулой: S = (основание * высота) / 2.
В данном случае, треугольник АВС является прямоугольным треугольником, и у нас уже есть его сторона и угол. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать sin или cos.
Угол ZA = 60°
sin(60°) = CD / 6
√3 / 2 = CD / 6
CD = (6 * √3) / 2
CD = 3√3 см
Площадь = (основание * высота) / 2
Площадь = (6 * 3√3) / 2
Площадь = 9√3 см²
Ответ: площадь треугольника АВС равна 9√3 см².