из точки А к окружности проведены касательная AB и секущая пересекающая окружность в точках C и D так что ВД является диаметром окружности Найдите длину отрезка AB касательная если радиус окружности равен 1, АС равно 3. ответ запишите значение величины корень из 3 АБ
Пусть ΔABC ; точки касания M∈ [AB] ,N∈[BC] и K∈[AC] и Пусть ∠KMN =α ;∠KNM =β.
∠KMN =180° -(∠KMA +∠NMB) =180° -((180°-∠A)/2 +(180° -<B)/2)) =(∠A+∠B)/2.
∠A+∠B =2α (1) ; * * * ⇒ ∠A =2α -∠B * * *
аналогично :
∠C+∠B=2β (2) . * * * ⇒ ∠C =2α -∠B * * *
Суммируем (1) и (2), получим:
(∠A+∠B+∠C )+∠B =2α +2β ;
180°+∠B=2α +2β ;
∠B =2(α +β) -180°.
поставляя это значение в (1) и (2) соответственно получаем :
∠A =2α - ∠B = 180° -2β ;
∠C =2α - ∠B = 180° -2α .
ответ: 2(α +β) -180° , 180° -2α , 180° -2β .
* * * * * * * комментария * * * * * * *
ΔAMK , ΔBMN равнобедренные.
* * * * * * * По другому * * * * * * *
∠AMK =(дугаMK)/2 =(∠MOK)/2 =(180° -∠A)/2.
∠NMB =(дугаMN)/2 =(∠MON)/2 =(180° ∠B)/2.
и т.д.
2) утворився рівнобедрений трикутник , де кути В і С - кути при осеові. А в такого трикутника кути при основі рівні.
3)розгланемо трикутник АОВ. АО=ОВ= радіусу кола.Значить, АОВ- рівнобедрений. А відрізок, проведений з вершини до середини основи рівнобедреного трикутника є висотою. тоді кут АКО=90, КОА=106/2=53 (так як висота рівнобедреного трикутника є одночасно ще й бісектрисою), КАО =180-90-53=37
4)Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні, А=С Знаходимо їх
А=(180-В)/2=(180-80)/2=50
Тоді в АDC знаходимо кут DCA. DCA=C/2=50/2=25
ADC=180-A-DCA=180-50-25=105
5) випадок №1 - АВ перпендикулярна с. Тоді вже з умови випливає що АМ і ВМ рівні відстані, бо це перпендикуляри до с
випадок №2 АВ не перпенд. до с. проведемо перпендикуляри АА1 та ВВ1 до с. Маємо прямокутні трикутники АМА1 та ВМВ1. у них кут АМА1=ВМВ1 ( вертикальні кути, тому вони рівні, АМ=МВ, МА1А=МВ1В. значить , трикутники рівні і відповідні сторони рівні, АА1=ВВ1.
6) діаметр проходить через середину хорди - тоді кінці хорди і центр кола утворюють рівнобедрений трикутник, де діаметр є медіаною - ділить основу навпіл. А медіана рувнобедреного трикутника є висотою до основи - є перпендикуляром. значить, хорда перпендикулярна до діаметра. Але дотичні до діаметра в точках на кінцях діаметра є перпендикулярами до діаметра. Отже маємо три прямі, перпендикулярні до діаметра. Значить , ці прямі паралельні між собою.