Диагонали точкой пересечения делятся пополам, а раз сами диагонали равны, то и отрезки образовавшиеся в результате пересечения тоже равны. А раз они пересекаются под прямым углом, то все четыре угла, образовавшиеся в результате пересечения прямые, а следовательно и равные друг другу. Если мы рассмотрим четыре треугольника, катоые образованы пересечением диагоналей и сторонами прямоугольника, то заметим, что они равны по двум сторонам и углу между ними. На основании равенства треугольников делаем вывод о равенстве сторон прямоугольника, а значит прямоугольник => квадрат
ответ: ∡A=75°, CK=2 , tgA=(2√3+3)/√3
Объяснение:
Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то запишем:
СМ=АМ => ΔAMC - равнобедренный => ∡A=∡ACM
∡ACH = 90°-∡A
=> ∡HCM=∡ACM-∡ACH=∡A-(90°-∡A)= 2*∡A-90°
Найдем теперь угол ∡HCK=∡ACK-∡ACH=45°-(90°-∡A)=∡A-45°
Поскольку ∡НСК=∡А-45° = ∡HCM/2= (2*∡A-90°)/2=∡A-45°,
то СК является биссектрисой угла НСМ, что и требовалось доказать.
б) Так как следует из а) СК является биссектрисой угла ∡НСМ в треугольнике НСМ , то по свойству биссектрисы
НС:MC=НК:KM=1:2=1/2
Но в треугольнике НСМ СМ является гипотенузой, а СН - катетом.
Тогда cos ∡HCM= HC/MC=1/2 =>∡HCM= 60° . Тогда ∡HCК=∡HCM:2=30°
∡АCН=∡АСК-∡HCК=45°-30°=15°.
∡А=90°-∡АСН=90°-15°=75°
Из прямоугольного треугольника НСК найдем биссектрису СК ( она же гипотенуза в данном треугольнике)
СК=НК:sin∡HCК=1/0.5=2
tg∡A=CH/HA
CH=CK*cos ∡HCК= 2*√3/2=√3
HA=AM-HK-KM
Еще раз напомню, что АМ=СМ
СМ=СН/cos∡HCM=√3/cos60°=2*√3
=>HA=2*√3-2-1=2*√3-3
tgA=√3/(2√3-3)=√3*(2√3+3)/(2√3+3)(2√3-3)= √3*(2√3+3)/ (12-9)
tgA=√3*(2√3+3)/3= (2√3+3)/√3