Теперь имеем координаты всех нужных для решения точек.
а) Найдем координаты векторов РF и BK.
PF{(√21·√3-2√7)/4; √21/4; - √21/2} или PF{√7/4; √21/4; - √21/4}.
ВК{√3;3; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:
Xbk/Xpf = √3/(√7/4) = 12/√21.
Ybk/Ypf = 3/(√21/4) = 12/√21.
Zbk/Zpf = -3/(-√21/4) = 12/√21.
Отношения равны, значит векторы ВК и PF параллельны.
Найдем координаты векторов РQ и BH.
PQ{(√21·√3-2√7)/4; 0; - √21/4} или PQ{(√7/4; 0; - √21/4}.
ВH{√3;0; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:
Xbh/Xpq = √3/(√/4) = 12/√21.
Ybh/Ypq = 0/0. (такое отношение приравнивается любому значению).
Zbh/Zpq = -3/(-√21/4) = 12/√21.
Отношения равны, значит векторы ВН и PQ параллельны.
Признак параллельности плоскостей: Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и РQ (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и ВН (лежащим в плоскости NBK) соответственно.
Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.
б) Уравнение плоскости NBK составим по точкам В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)) и К(3√3;3;0) по формуле:
|x - xН xB - xН xК - xН|
|y - yН yB - yН yК - yН| = 0.
|z - zН zB - zР zК - zН|
Подставим данные трех наших точек:
|x-3√3 -√3 0 |
|y-0 0 3 | = 0.
|z-0 3 0 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
а). У равнобедренного треугольника FME и равностороннего треугольника КМM угол М общий. Следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия k=MF/MK. k = √21/12. =>
FE||KN.
Треугольник MNK правильный => MH = (√3/2)a = 3√3.
MO = (2/3)·3√3 =2√3. В прямоугольном треугольнике МВО по Пифагору:
ВМ = √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21. Тогда
МР/ВМ = (7/4)/√21 = √21/12. Следовательно, треугольники FMP и KMB подобны, по третьему признаку подобия (МР/ВМ = MF/MK = √21/12, а ∠М - общий).
Из подобия => PF||BK.
Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и FE (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и KN (лежащим в плоскости NBK) соответственно (признак).
Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.
б) Расстояние от точки Р до плоскости NBK - это перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Построим этот перпендикуляр.
В треугольнике МВН опустим высоту МR на сторону ВН. RH - проекция наклонной МН на плоскость NBK (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно прямая MR перпендикулярна плоскости NBK.
Проведем через точку Р в треугольнике МВН прямую PS параллельно прямой MR.
Отрезок PS перпендикулярен плоскости NBK и является искомым расстоянием.
Треугольники PBS и MBR подобны с коэффициентом k=PB/MB.
Пусть С - начало координат
Ось X - CB
Ось Y - Перпендикулярно X в сторону A
Ось Z - СС1
1)
Координаты точек
D (√13;0;√13/2)
N(3√13/4;√39/4;√13)
Вектора
СD ( √13;0;√13/2)
DN( -√13/4;√39/4;√13/2)
CD*DN = -13/4 + 13/4 =0 - перпендикулярны.
2)
Уравнение плоскости
BCC1
y=0
Уравнение плоскости
CDN
ax+by+cz=0
подставляем координаты точек D и N
√13a + √13c/2 =0
3√13a/4 + √39b/4 + √13c =0
Пусть a=1 тогда с = -2 b= 5√3/3
Уравнение
x +5√3y/3 - 2z =0
Косинус искомого угла
5√3/3 / √(1+25/3+4) = √(5/8)
Синус √(3/8)
Тангенс √(3/5)= √15/5
Решения в объяснении и приложенных рисунках.
Объяснение:
1. Координатный метод.
Пирамида правильная. =>
MH = (√3/2)a = 3√3. MO = (2/3)·3√3 =2√3. ∠FMQ = 30°
Привяжем систему координат к вершине М так, что ось Х проходит по высоте основания МН. Тогда имеем точки:
М(0;0;0), В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)), К(3√3;3;0).
FQ = MF/2 = (√21/2)/2 = √21/4, MQ = MF·Sin60 = √21·√3)/4. Тогда точки
Q((√21·√3)/4;0;0), F((√21·√3)/4;√21/4;0).
По Пифагору MB = √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21. Тогда
Sin(∠BMO) = BO/MB = 3/√21.
Cos(∠BMO) = MO/MB = 2√3/√21. =>
PP' = MP·Sin(∠BMO) = (7/4)·(3/√21) = √21/4. (Zp)
MP' = MP·Cos(∠BMO) = (7/4)·(2√3/√21) = √7/2. (Xp)Имеем координаты точки Р:
Р(√7/2;0;√21/4).
Теперь имеем координаты всех нужных для решения точек.
а) Найдем координаты векторов РF и BK.
PF{(√21·√3-2√7)/4; √21/4; - √21/2} или PF{√7/4; √21/4; - √21/4}.
ВК{√3;3; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:
Xbk/Xpf = √3/(√7/4) = 12/√21.
Ybk/Ypf = 3/(√21/4) = 12/√21.
Zbk/Zpf = -3/(-√21/4) = 12/√21.
Отношения равны, значит векторы ВК и PF параллельны.
Найдем координаты векторов РQ и BH.
PQ{(√21·√3-2√7)/4; 0; - √21/4} или PQ{(√7/4; 0; - √21/4}.
ВH{√3;0; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:
Xbh/Xpq = √3/(√/4) = 12/√21.
Ybh/Ypq = 0/0. (такое отношение приравнивается любому значению).
Zbh/Zpq = -3/(-√21/4) = 12/√21.
Отношения равны, значит векторы ВН и PQ параллельны.
Признак параллельности плоскостей: Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и РQ (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и ВН (лежащим в плоскости NBK) соответственно.
Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.
б) Уравнение плоскости NBK составим по точкам В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)) и К(3√3;3;0) по формуле:
|x - xН xB - xН xК - xН|
|y - yН yB - yН yК - yН| = 0.
|z - zН zB - zР zК - zН|
Подставим данные трех наших точек:
|x-3√3 -√3 0 |
|y-0 0 3 | = 0.
|z-0 3 0 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
|0 3| | -√3 0| | -√3 0 |
(x-3√3)*|3 0| - y*| 3 0| + z*| 0 3 | = 0. Или
(x-3√3)*(-9) - y*(0) +z*(-3√3) = 0. =>
9x +(0)y+3√3z -27√3= 0. Или
3x +(0)y+√3z -9√3 = 0. Коэффициенты: А=3, В=0, С=√3, D= -9√3.
Проверка для точки В: 6√3+0+3√3-9√3 = 0. Для точки Н: 9√3+0+0-9√3=0. Для точки К: 9√3-0+0-9√3=0. Итак, уравнение плоскости верное.
Найдем расстояние от точки Р(2√7/4;0;√21/4) до плоскости NBK по формуле:
d =(|A·Px+B·Py+C·Pz+D|)/(√(A²+B²+C²). В нашем случае:
d = |6√7)/4+0+3·√7/4-9√3|/(√(9+0+3) = |(9√7 - 36√3)/4| /(2√3) = =|3(√21-12)|/8 = 3(12-√21)/8.
2. Геометрическое решение.
а). У равнобедренного треугольника FME и равностороннего треугольника КМM угол М общий. Следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия k=MF/MK. k = √21/12. =>
FE||KN.
Треугольник MNK правильный => MH = (√3/2)a = 3√3.
MO = (2/3)·3√3 =2√3. В прямоугольном треугольнике МВО по Пифагору:
ВМ = √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21. Тогда
МР/ВМ = (7/4)/√21 = √21/12. Следовательно, треугольники FMP и KMB подобны, по третьему признаку подобия (МР/ВМ = MF/MK = √21/12, а ∠М - общий).
Из подобия => PF||BK.
Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и FE (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и KN (лежащим в плоскости NBK) соответственно (признак).
Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.
б) Расстояние от точки Р до плоскости NBK - это перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Построим этот перпендикуляр.
В треугольнике МВН опустим высоту МR на сторону ВН. RH - проекция наклонной МН на плоскость NBK (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно прямая MR перпендикулярна плоскости NBK.
Проведем через точку Р в треугольнике МВН прямую PS параллельно прямой MR.
Отрезок PS перпендикулярен плоскости NBK и является искомым расстоянием.
Треугольники PBS и MBR подобны с коэффициентом k=PB/MB.
PB = MB - MP = √21 - 7/4. k = (4√21-7)/(4√21). PS = MR*k.
Smbh = (1/2)*BO*MH = (1/2)*3*3√3 =9√3/2.
По Пифагору BH = √(BK²-KH²) = √(21-9) = √12.
Тогда MR = 2S/BH = 9√3/√12 = 9/2.
MS = (9/2)*(4√21-7)/(4√21) = 9(4√21-7)/8√21 = 3(4√21-7)√21/(8*7) = 3(12-√21)/8.