Известны координаты четырех вершин параллелепипеда abcda1b1c1d1: а) A(1;0;-1),B(2;-1;1),C(3;0;0), C1(1;2;2)
б) A(-2;1;0),C(0;1;2),B1(-3;1;0),D1(-3;0;2)Найдите координаты четырех оставшихся вершин. Для каждого из пунктов а и б найдите: векторAB+вектор CD, вектор AA1+вектор BB1; вектор AB1+векторBC1+векторCD1+вектор DA1.
- Противоположные стороны параллелепипеда равны по длине и параллельны.
- Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны по площади.
a) Для нахождения координат вершин A1B1C1D1, нужно взять соответствующие координаты вершин ABCD и прибавить/вычесть соответствующую разность координат.
Координаты вершины A1 = Координаты вершины A + (Координаты вершины C1 - Координаты вершины C) = (1;0;-1) + (1;2;2) - (3;0;0) = (-1; 2; 1)
Аналогично, найдем оставшиеся координаты вершин B1, C1 и D1:
Координаты вершины B1 = Координаты вершины B + (Координаты вершины C1 - Координаты вершины C) = (2;-1;1) + (1;2;2) - (3;0;0) = (0; 1; 3)
Координаты вершины C1 уже известны.
Координаты вершины D1 = Координаты вершины A + (Координаты вершины C1 - Координаты вершины C) = (1;0;-1) + (1;2;2) - (3;0;0) = (-1; 2; 1)
Таким образом, координаты оставшихся четырех вершин параллелепипеда равны:
A1(-1; 2; 1), B1(0; 1; 3), C1(1; 2; 2), D1(-1; 2; 1)
б) Аналогичным образом, найдем координаты оставшихся вершин параллелепипеда.
Координаты вершины A1 = Координаты вершины A + (Координаты вершины B1 - Координаты вершины B) = (-2;1;0) + (-3;1;0) - (2;-1;1) = (-7; 3; -1)
Координаты вершины C1 = Координаты вершины C + (Координаты вершины D1 - Координаты вершины D) = (0;1;2) + (-3;0;2) - (-3;0;2) = (-3; 1; 2)
Аналогично, найдем оставшиеся координаты вершин B1, C1 и D1:
Координаты вершины B1 = Координаты вершины C1 + (Координаты вершины B - Координаты вершины A1) = (-3; 1; 2) + (2;-1;1) - (-7; 3; -1) = (6; -1; 1)
Координаты вершины D1 = Координаты вершины D + (Координаты вершины C1 - Координаты вершины C) = (-3;0;2) + (-3;1;2) - (0;1;2) = (-6; 0; 2)
Таким образом, координаты оставшихся четырех вершин параллелепипеда равны:
A1(-7; 3;-1), B1(6; -1; 1), C1(-3; 1; 2), D1(-6; 0; 2)
2) Вычислим вектор AB+CD:
Вектор AB = Координаты вершины B - Координаты вершины A = (2;-1;1) - (1;0;-1) = (1; -1; 2)
Вектор CD = Координаты вершины D - Координаты вершины C = (-3;0;2) - (3;0;0) = (-6; 0; 2)
Теперь сложим эти векторы:
Вектор AB+CD = (1; -1; 2) + (-6; 0; 2) = (-5; -1; 4)
2) Вычислим вектор AA1+BB1:
Вектор AA1 = Координаты вершины A1 - Координаты вершины A = (-1; 2; 1) - (1;0;-1) = (-2; 2; 2)
Вектор BB1 = Координаты вершины B1 - Координаты вершины B = (0; 1; 3) - (2;-1;1) = (-2; 2; 2)
Теперь сложим эти векторы:
Вектор AA1+BB1 = (-2; 2; 2) + (-2; 2; 2) = (-4; 4; 4)
3) Вычислим вектор AB1+BC1+CD1+DA1:
Вектор AB1 = Координаты вершины B1 - Координаты вершины A = (0; 1; 3) - (1;0;-1) = (-1; 1; 4)
Вектор BC1 = Координаты вершины C1 - Координаты вершины B1 = (-3; 1; 2) - (0;1;3) = (-3; 0; -1)
Вектор CD1 = Координаты вершины D1 - Координаты вершины C1 = (-6; 0; 2) - (-3; 1; 2) = (-3; -1; 0)
Вектор DA1 = Координаты вершины A1 - Координаты вершины D = (-7; 3;-1) - (-3;0;2) = (-4; 3; -3)
Теперь сложим эти векторы:
Вектор AB1+BC1+CD1+DA1 = (-1; 1; 4) + (-3; 0; -1) + (-3; -1; 0) + (-4; 3; -3) = (-11; 3; 0)
Таким образом:
- Вектор AB+CD = (-5; -1; 4)
- Вектор AA1+BB1 = (-4; 4; 4)
- Вектор AB1+BC1+CD1+DA1 = (-11; 3; 0)