К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 22 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B

Сечением будет равнобедренная трапеция, т.к. основания призмы лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость их будет пересекать по параллельным прямым.

Пусть К и М середины рёбер АС и ВС, тогда МК средняя линия, по свойству она параллельна третьей стороне АВ и равна её половине - 4 см (стороны основания равны по 8см)

Секущая плоскость проходит через точку А1 и параллельна МК, т.е. совпадает с А1В1 (МК II АВ II А1В1). А1В1МК - трапеция с основаниями А1В1=8см и МК=4см

Боковые стороны равны из равенства прямоугольных треугольников АА1К и ВВ1М (по двум катетам). А1К и В1М - гипотенузы этих треугольников. Их находим по теореме Пифагора √3²+4²=√9+16=√25=5см.

Р=4+8+2·5=22см 

 

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой C проведена высота CH, при этом AH=x, BH=x+5 (по условию, один из этих отрезков больше другого на 5 см). Тогда CH²=AH*BH, 6²=x(x+5), x²+5x=36, x²+5x-36=0. Решим это квадратное уравнение: D=25+36*4=169=13², x₁=(-5+13)/2=4, x₂=(-5-13)/2=-9, x₂ - посторонний корень, так как длина отрезка - положительное число. Тогда AH=4, BH=9, AB=13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в нём катеты AH и CH равны 4 и 6, тогда гипотенуза AC по теореме Пифагора равна √4²+6²=√52. Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, в котором катеты CH и BH равны 6 и 9, тогда гипотенуза BC по теореме Пифагора равна √6²+9²=√117. 

Таким образом, стороны треугольника равны √52, √117, 13.