Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C проведена прямая, от которой вершина A удалена на 3 , а вершина B — на 8 . Определите квадрат гипотенузы AB .
Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то . Соответственно . Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC=). Из подобия следует, что . Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: .
Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:
Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC . Из прямоугольного треугольника BCE . Значит . Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => . По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB . Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC , т.е. получили уравнение , откуда x=5, а значит . Тогда .
(см. объяснение)
Объяснение:
Первый
Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то
. Соответственно 
. Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC=
). Из подобия следует, что 
. Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: 
.
Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:
Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC
. Из прямоугольного треугольника BCE 
. Значит 
. Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => 
. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB 
. Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC 
, т.е. получили уравнение 
, откуда x=5, а значит 
. Тогда 
.
Задача решена!