Каждая боковая грань четырехугольной пирамиды в основе которой лежит квадрат наклонена к основанию под углом 60 °, площадь основания 16 см².Найти площадь боковой поверхности

Поскольку других размеров не дано, надо думать, данный тетраэдр - правильный.
Следовательно, все его 4 грани - правильные треугольники, а
площадь одной грани равна 16√3:4=4√3
Площадь правильного треугольника находят по формуле
S=(а²√3):4
4√3=(а²√3):4, откуда
 а=4. т.е. ребро данной пирамиды равно 4. 
Тогда треугольник ВРТ тоже правильный, т.к. Р и Т - середины ребер, и стороны треугольника ВРТ равны 2. 
Пусть точки касания вписанной в него окружности будут
 на ребре BD -К, на ребре ВС -Н
В четырехугольнике КВНО углы при К и Н - прямые, угол В=60°.  
Т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°, а
сумма углов К и Н=90°*2=180°, то 
угол КОН равен 180°- 60°=120°.
Т.е. дуга КН=120°, и ее длина равна 360°:120°=одной трети длины вписанной в треугольник ВРТ окружности. 
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности а:2√3
Радиус данной вписанной окружности 2:2√3=1/√3 см
Длина этой окружности L=2πr=2π:√3 см
Длина дуги градусной мерой 120° равна одной трети длины всей окружности.
Следовательно, длина дуги
КН=(2π:√3):3 или (2π√3):9 см

Формула медианы треугольника 
m=0,5*√(2а²+2b²-c²), где а и b- боковые стороны, с- сторона, к которой медиана проведена. 
Произведя вычисления,  получим длину медианы 5 см. 
Но, обратив внимание на отношение сторон 6:8:10=3:4:5, увидим, что данный треугольник - египетский, следовательно, прямоугольный с прямым углом В,  АС в нем - гипотенуза.
 Медиана прямоугольного треугольника из прямого угла равна половине гипотенузы. 
m=10:2=5 см
Проверка:
АВ+ВМ+МА=6+5+5=16 см ( периметр треугольника АВМ)
---------
Ещё один
ВМ - медиана и делит сторону АС пополам.
СМ=АМ=10:2=5 ( см)
Р Δ АВМ=16 см
Р Δ АВМ=ВМ+АМ+АВ
16= ВМ+5+6
ВМ=16-11=5 ( см)