Контрольна робота No2 з теми «Вектори на площині» Частина ( по ) 1. Вкажіть формулу відстані між двома точками: A) АВ = (х -х, ) – (у, - у)? Б) АВ = (х – х.)+(y, -у, ) B) АВ = (х – х.)+(y, -у) Г) АВ = (х +х)? +(y, +y,)? 2.Знайдіть абсолютну величину вектора 4 (-12; 5). A) 13: Б) 34; В) 17; Г) 14. 3.Дано вектор ті(-6;1) in (5;-3). Знайдіть ті + п. А) (11; 4); Б) (-1; 2); B) (1; — 2); Г) (-1; -2). 4.Знайдіть скалярний добуток векторів (2; -3) iв (4; -8). А) 32; Б) -38; B) -16; Г) 192. 5.Знайдіть координати вектора MN, якщо M(3;-4), N(9; -2). A) (6; — 6); Б) (6; 2); в) (-6; -6); г) (-6; —2). ) 6;; — Частина 1 (по ). 6. Знайдіть точки перетину прямої 2х -5y+ 20 = (0) з осями координат. 7.Знайдіть косинус кута між векторами (1:0) i d(0; 0,5). Частина ІІ ( ). 8. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо А(1; 3), В(5;7), С(7;7), D(0; 0).
Ответ: В) АВ = (х – х.)+(y, -у)
Обоснование: Формула відстані між точками на площині - це використання теореми Піфагора для сторін прямокутного трикутника, який утворюється між векторами. Якщо А (х1, у1) і В (х2, у2) є координатами двох точок на площині, то сторона АВ прямокутного трикутника має довжину |х2 - х1| і |у2 - у1| по осях x і y відповідно. Застосовуючи теорему Піфагора, отримаємо формулу відстані між точками А і В: АВ = √[(х2 - х1)^2 + (у2 - у1)^2]. Варіант В відповідає цій формулі, тому є правильним.
2. Знайдіть абсолютну величину вектора 4 (-12; 5).
Ответ: Б) 34
Обоснование: Абсолютна величина вектора - це його довжина. Знаходження довжини вектора включає обчислення квадратного кореня суми квадратів його координат. В даному випадку, абсолютна величина вектора 4 (-12; 5) дорівнює √[(-12)^2 + 5^2] = √[144 + 25] = √169 = 13. Варіант Б відповідає цій відповіді, тому є правильним.
3. Дано вектор ті(-6;1) і вектор (5;-3). Знайдіть вектор ті + п.
Ответ: А) (11; 4)
Обоснование: Щоб знайти суму векторів, слід додати їх відповідні координати. Таким чином, вектор ті(-6;1) + вектор (5;-3) буде мати координати (-6 + 5; 1 + (-3)), що дорівнює (11; 4). Варіант А відповідає цій відповіді, тому є правильним.
4. Знайдіть скалярний добуток векторів (2; -3) і (4; -8).
Ответ: A) 32
Обоснование: Скалярний добуток двох векторів визначається як сума добутків їх відповідних координат. Таким чином, скалярний добуток векторів (2; -3) i (4; -8) дорівнює (2 * 4) + (-3 * (-8)) = 8 + 24 = 32. Варіант А відповідає цій відповіді, тому є правильним.
5. Знайдіть координати вектора MN, якщо M(3;-4), N(9; -2).
Ответ: г) (-6; -2)
Обоснование: Щоб знайти координати вектора MN, ми віднімаємо координати точки M від координат точки N. Таким чином, координати вектора MN будуть (9 - 3; -2 - (-4)), або (-6; -2). Варіант г відповідає цій відповіді, тому є правильним.
6. Знайдіть точки перетину прямої 2х - 5у + 20 = 0 з осями координат.
Ответ:
Перетин прямої з осію x: 2х - 5y + 20 = 0
Коли y = 0, ми можемо знайти значення x:
2x - 5(0) + 20 = 0
2x + 20 = 0
2x = -20
x = -10
Тому, точка перетину прямої з осію x: (-10, 0)
Перетин прямої з осію y: 2х - 5у + 20 = 0
Коли x = 0, ми можемо знайти значення y:
2(0) - 5y + 20 = 0
-5y + 20 = 0
-5y = -20
y = 4
Тому, точка перетину прямої з осію y: (0, 4)
7. Знайдіть косинус кута між векторами (1;0) і (0;0,5).
Ответ: А) 1
Обоснование: Формула для обчислення косинуса кута між двома векторами використовує скалярний добуток та абсолютні величини векторів. Косинус кута між двома векторами а дорівнює (а * b) / (|а| * |b|), де а і b - це вектори, а |а| і |b| - це їх абсолютні величини.
У цьому випадку, абсолютна величина вектора (1;0) дорівнює √(1^2 + 0^2) = 1, а абсолютна величина вектора (0;0,5) дорівнює √(0^2 + 0,5^2) = 0,5.
Скалярний добуток векторів (1;0) і (0;0,5) дорівнює (1 * 0) + (0 * 0,5) = 0 + 0 = 0.
Тому, косинус кута між цими векторами (1;0) і (0;0,5) дорівнює 0 / (1 * 0,5) = 0 / 0,5 = 0.
Варіант А відповідає цій відповіді, тому є правильним.
8. Визначте вид чотирикутника ABCD, якщо А(1; 3), В(5;7), С(7;7), D(0; 0).
Ответ: Прямокутник
Обоснование: Щоб з'ясувати, який вид має чотирикутник ABCD, слід звірити продовжені сторони. Якщо протилежні сторони рівні і паралельні, тоді чотирикутник є прямокутником.
У цьому випадку, сторона AB має довжину √[(5 - 1)^2 + (7 - 3)^2] = √[16 + 16] = √32, а сторона CD має довжину √[(0 - 7)^2 + (0 - 7)^2] = √[49 + 49] = √98.
Сторона BC має довжину √[(7 - 5)^2 + (7 - 7)^2] = √[4 + 0] = √4 = 2, а сторона AD має довжину √[(0 - 1)^2 + (0 - 3)^2] = √[1 + 9] = √10.
Таким чином, AB ≠ CD і BC ≠ AD, тому чотирикутник ABCD - прямокутник.
В результаті, чотирикутник ABCD є прямокутником.