∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║ВС секущей АС,
∠2 = ∠3 как углы при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС по условию), ⇒
∠1 = ∠3.
Эти углы вписанные. Раз они равны, то равны и дуги, на которые они опираются, ∪ВО = ∪ОЕ. А равные дуги стягиваются равными хордами, значит ВО = ОЕ.
___________
∠BDA = ∠CBD как накрест лежащие при пересечении AD║ВС секущей BD,
∠CBD = ∠CDB как углы при основании равнобедренного треугольника BCD, ⇒
∠BDA = ∠CDB.
Трапеция равнобедренная, значит ∠BAD = ∠CDA, а значит равны между собой и все углы, помеченные одной черной дужкой. Тогда
ОЕ = ОВ = ОС.
_______
∠ВОА = 2 · ∠2 как внешний угол ΔВОС,
∠ВАD = 2 · ∠1,
а так как ∠1 = ∠2, то и ∠ВОА = ∠BAЕ.
Эти углы вписанные, значит равны соответствующие дуги (∪ВА = ∪ВЕ) и стягивающие их хорды ВА = ВЕ, ⇒ ΔАВЕ равнобедренный.
________
ВН - высота трапеции и высота ΔАВЕ, вписанного в ту же окружность. Так как треугольник равнобедренный, центр окружности лежит на высоте ВН, а так как ВН⊥ВС, то ВС - касательная к окружности.
По свойству отрезков касательной и секущей, проведенных из одной точки:
1. Найдите длину отрезка ВС и координаты его середины, В (-2; 5) и С (4; 1).
ВС = √((4-(-2))² + (1-5)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13.
Середина: ((-2+4)/2= 1: (5+1)/2= 3) = (1; 3).
2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке A(-1; 2) и которая проходит через точку M (1: 7).
Находим радиус R = √(((1+1)² + (7-2)²) = √29,
3. Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если А (3, -2), C(9; 8), D (-4; -5).
AB = DC, Δx(DC) = 13, Δy(DC) = 13,
xB = xA + Δx(DC) = 3 + 13 = 16,
yB = yA + Δy(DC) = -2 + 13 = 11. Точка В ((16; 11).
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 1) и B(-2: 13).
Вектор АВ = (-2-1=-3; 13-1 = 12) = (-3; 12).
Уравнение в каноническом виде с использованием точки А: (х - 1)/(-3) = (у - 1)/12.
5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек A (-1; 4) и В (5; 2).
Точка С на оси Ох имеет координаты С(х; 0)
Равенство квадратов длин СА и СВ:
(х + 1)² + 16 = (х - 5)² + 4.
х² + 2х + 1 + 16 = х² - 10х + 25 + 4.
12х = 12, х = 1.
Точка С(1; 0).
6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = -2x 7 и про проходит через центр окружности
x?+y?-8x+4y+12=0
9
Объяснение:
∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║ВС секущей АС,
∠2 = ∠3 как углы при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС по условию), ⇒
∠1 = ∠3.
Эти углы вписанные. Раз они равны, то равны и дуги, на которые они опираются, ∪ВО = ∪ОЕ. А равные дуги стягиваются равными хордами, значит ВО = ОЕ.
___________
∠BDA = ∠CBD как накрест лежащие при пересечении AD║ВС секущей BD,
∠CBD = ∠CDB как углы при основании равнобедренного треугольника BCD, ⇒
∠BDA = ∠CDB.
Трапеция равнобедренная, значит ∠BAD = ∠CDA, а значит равны между собой и все углы, помеченные одной черной дужкой. Тогда
ОЕ = ОВ = ОС.
_______
∠ВОА = 2 · ∠2 как внешний угол ΔВОС,
∠ВАD = 2 · ∠1,
а так как ∠1 = ∠2, то и ∠ВОА = ∠BAЕ.
Эти углы вписанные, значит равны соответствующие дуги (∪ВА = ∪ВЕ) и стягивающие их хорды ВА = ВЕ, ⇒ ΔАВЕ равнобедренный.
________
ВН - высота трапеции и высота ΔАВЕ, вписанного в ту же окружность. Так как треугольник равнобедренный, центр окружности лежит на высоте ВН, а так как ВН⊥ВС, то ВС - касательная к окружности.
По свойству отрезков касательной и секущей, проведенных из одной точки:
BC² = CO · CA = 9
CO = OE, значит
ОЕ · АС = 9 - значение постоянное