..........................m​

А) ∠ОАВ=∠ОСД=90°.
В четырёхугольнике АОСД ∠АОС+∠АДС=360-(∠ОАД+∠ОСД)=360-(90+90)=180°. 
В четырёхугольнике АОСД суммы противолежащих углов равны, значит он вписанный.
доказано.
б) АО⊥АВ и ВО1⊥АВ, значит АО║ВО, значит ∠АОО1+∠ВО1О=180°.
АО=СО, АД=СД, значит ΔАДО=ΔСДО, значит ДО - биссектриса угла АОС.
Аналогично ДО1 - биссектриса угла ВО1С.
ДО и ДО1 биссектрисы односторонних углов, значит ∠ОДО1=90°.
В тр-ке ОО1Д ДС²=ОС·О1С=3·5=15.
В тр-ке СОД ОД=√(ОС²+ДС²)=√(9+15)=√24=2√6.
В тр-ке СОД радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
R=ОД/2=√6 - это ответ.
Действительно, радиус описанной окружности около четырёхугольника равен радиусу описанной окружности вокруг любого из треугольников, образованных из его вершин.

Уравнение окружности, касающейся OY и имеющей центр в точке  можно записать как 

(Пересекает OY ровно в одной точке - , значит касается в этой точке)
Эта окружность проходит через точку (-4,0):


Итак, у нас вышло семейство окружностей:

Все они подходят под условия, так некоторые из них:

Окружность с центром в точке (-2;0) и радиусом 2 касается OY в точке (0;0) и проходит через точку (-4;0)

Окружность с центром в точке (-4;4) и радиусом 4 касается OY в точке (0;4) и проходит через точку (-4;0)

Окружность с центром в точке (-4;-4) и радиусом 4 касается OY в точке (0;-4) и проходит через точку (-4;0)

Окружность с центром в точке (-10;8) и радиусом 10 касается OY в точке (0;8) и проходит через точку (-4;0)