MN-средний линия трапецыи PTOQ. Через точку N проведённая прямая, параллельная PT и пересекающяя QP в точку N 1 доказать что PMNK параллерограм 2 найти пириметр PMNK, если PT=6см, TQ=7см, PQ=9см​

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.

1) Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 5t + t³ - 1.

Скорость точки - первая производная от x(t)

v(t) = x'(t) = (5t + t³ - 1)' = 5 + 3t²

t = 1 с ⇒ v(1) = 5 + 3*1² = 5 + 3 = 8 м/с

Ускорение точки - первая производная от скорости v(t)

a(t) = v'(t) = (5 + 3t²)' = 6t

t = 1 c ⇒ a(1) = 6*1 = 6 м/с²

ответ: v(1) = 8 м/с ; a(1) = 6 м/с²

2.а) y= x³/3 - 5/2 x² + 6x + 10 = x³/3 - 2,5x² + 6x + 10; на отрезке [0;1]

Сначала найдем точки экстремумов функции через первую производную.

y' = (x³/3 - 2,5x² + 6x + 10)' = (x³/3)' - (2,5x²)' + (6x)' + (10)'

y' = x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) = 0

Точки экстремумов x₁ = 3 и x₂ = 2 в заданный интервал [0; 1] не входят.

Тогда значения функции на границах интервала

y (0) = 0³/3 - 2,5 * 0² + 6*0 + 10 = 10

y (1) = 1³/3 - 2,5 * 1² + 6* 1 + 10 = 1/3 - 2,5 + 16 = 13 5/6

ответ : наименьшее значение функции y(0) = 10;

наибольшее значение функции y (1) = 13 5/6

2.б) y= cosx - √3 sinx; на отрезке [-π; 0]

y = cos x - √3 sin x = 2*(1/2 * cos x - √3/2 * sin x) =

= 2*(sin (π/6) * cos x - cos (π/6) * sin x)

y = 2 * sin ( π/6 - x)

Функция sin α имеет наибольшее значение 1 в точке α = π/2 + 2πn

π/6 - x = π/2 + 2πn ⇔ x = π/6 - π/2 - 2πn = -π/3 - 2πn

x₁ = -π/3 - точка максимума, входит в интервал [-π; 0]

Функция sin α имеет наименьшее значение -1 в точке α = -π/2 + 2πk

π/6 - x = -π/2 + 2πk ⇔ x = π/6 + π/2 - 2πk = 2π/3 - 2πk

x₂ = 2π/3 - 2π = -4π/3 - точка минимума не входит в интервал [-π; 0]

Значения на границах интервала

x = -π; y = 2 * sin ( π/6 - (-π)) = 2 * (- sin (π/6)) = -2 * 1/2 = -1

x = 0; y = 2 * sin ( π/6 - 0) = 2 * 1/2 = 1

Наибольшее значение функции на интервале [-π; 0] в точке максимума

y (-π/3) = 2 * sin (π/6 - (-π/3)) = 2 * sin (π/2) = 2

Наименьшее значение функции на границе интервала y (-π) = -1

ответ: наибольшее значение y(-π/3) = 2

наименьшее значение функции y (-π) = -1