MN — средняя линия правильного треугольника ABC, параллельная стороне AC. На отрезке MN, как на стороне, построен квадрат PMNK, причём точки P и K лежат на стороне AC. Найди радиyс окружности, вписанной в треугольник ABC, если радиус окружности, описанной около квадрата PMNK, равен R
Решение задачи:
Доказательство строим на факте, что биссектриса AF делит угол BAD на два равных угла:
BAF = FAD
По правилу накрест лежащих углов при параллельных прямых AB и CD:
∠BAF = ∠ DFA.
Тогда углы FAD и DFA тоже равны, так как BAF = FAD. Значит, треугольник AFD – равнобедренный с основанием AF. Следовательно, AD = DF. По тем же причинам в треугольнике BCF BC = CF. В параллелограмме противоположные стороны равны – значит, BC = AD. Но тогда CF тоже равен AD, а значит, равен также FD. Если CF = FD, то F – середина CD.
Что и требовалось доказать.
Нарисуем треугольник АВС, проведем высоту СН.
Обратим внимание на то, что в треугольнике АВС, так как СН перпендикулярно АВ,
косинус А можно выразить не только, как АС:АВ, но и АН:АС
Тогда из соs A=√51):10 получим отношение
АН:АС=√51):10
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:
10 АН=12√51
АН=12√51):10
По т.Пифагора из треугольника АСН
СН²=АС²-АН²
СН²=144 -144·51:100
Приведем к общему знаменателю:
СН²=(144·100 -144·51):100
СН²=144(100-51):100
СН²=144·49:100
СН=12·7:10=84:10=8,4