Точка О2 - центр вписанной окружности в тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. Около тр-ка АВС опишем окружность. АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов. Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. ∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2. ∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине. Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный. КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности. Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности. Доказано.
Назовем трапецию ABCD, а высоту ВН. Проведем еще одну высоту из ∠С: СМ Рассмотрим ΔАВН и ΔMCD: AB=CD(по опр. равнобедренной трапеции) ∠ВНА=∠CMD=90(по опр. высоты) ∠А=∠D(по св-ву равнобедренной трапеции) ВН=СМ(так как ВС параллельно AD⇒расстояние между ними всегда одинаковое, а оно измеряется посредством высот) ∠АВН=∠МСD(так как ∠В=∠С(по опр. равноб. трап.), а ∠НВС=∠МСВ=90(как накрест лежащие углы при параллельных прямых ⇒ ∠В - ∠НВС=∠С - ∠МСВ) ⇒ΔАВН = ΔMCD(по двум сторонам и углу между ними) ⇒АН=МD(как соответственные элементы в равных Δ)⇒АН=МD=6 Найдем основания: AD=30+6=36 ВС=36-(6+6)=24 (Другими словами, мы из АD вычли отрезки MD и АН)
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К.
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают.
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.
Рассмотрим ΔАВН и ΔMCD:
AB=CD(по опр. равнобедренной трапеции)
∠ВНА=∠CMD=90(по опр. высоты)
∠А=∠D(по св-ву равнобедренной трапеции)
ВН=СМ(так как ВС параллельно AD⇒расстояние между ними всегда одинаковое, а оно измеряется посредством высот)
∠АВН=∠МСD(так как ∠В=∠С(по опр. равноб. трап.), а ∠НВС=∠МСВ=90(как накрест лежащие углы при параллельных прямых ⇒ ∠В - ∠НВС=∠С - ∠МСВ)
⇒ΔАВН = ΔMCD(по двум сторонам и углу между ними)
⇒АН=МD(как соответственные элементы в равных Δ)⇒АН=МD=6
Найдем основания:
AD=30+6=36
ВС=36-(6+6)=24 (Другими словами, мы из АD вычли отрезки MD и АН)