на колі позначено точки A, B i C, причому хорда AC дорівнює радіусу кола. знайдіть кут ABC. скільки розв'язків має задача ?

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Пусть точка пересечения медиан будет О, а АМ=3х.
АО:ОМ=2:1
Обозначим середины медиан АМ и СN  точкамии К и Е соответственно. 
КЕ- расстояние между серединами медиан. 
КЕ║АС ( КЕ является частью  средней линии ΔАNC  и ΔАМС)
АМ=3х
АО=2х (точка пересечения медиан)
АК=1,5х ( половина медианы)
ОК=2х-1,5х=0,5х
Треугольники ОАС и ОКЕ подобны по равным углам
АО:КО=АС:КЕ
2х:0,5х=АС:КЕ
 2 КЕ=0,5*16
КЕ=4 см
ответ: расстояние между серединами медиан 4 см

раза я почти дописывал (было написано примерно 90 % решения), и два раза мой комп "глючил", и написанное мною безвозвратно терялось.  Попробую написать в Word, время от времени сохраняя написанное.  Итак,  возьми листочек бумаги, и нарисуй домик, какие рисуют дети, т.е. квадрат ABKL и присоединенный к нему равнобедренный треугольник АВС с прямым углом С.  Сторону АВ (общую для квадрата и треугольника) подели пополам, и поставь точку D.  Проведи  отрезки CD, DK  и DL. DK= DL.  Пусть стороны квадрата  равны "х". Тогда AD=DB= CD =x/2. По теореме Пифагора  DK=DL=√(x^2+(x/2)^2)=(х/2)*√(5) . Согни лист по линии АВ и положи на стол так, чтобы часть листочка ч квадратом лежала на столе, а часть листочка с треугольником была перпендикулярна поверхности стола.  Возьми две вязальные спицы (иголки, гвозди, стержни от авторучки, спички и т.п.). Проткни отверстие в точке D и продень в него спицы. Конец одной помести в точку K, другой – в точку L. Получится искомый треугольник CKL, СK=CL.  В нем KL=х, а СK=CL=√(((х/2)*√(5))^2+(x/2)^2=(x/2)*√(6). Теперь к нему применяем теорему косинусов:  KL^2=CK^2+CL^2-2*CK*CL*cos(KCL). Отсюда cos(KCL)=1-KL^2/(2*CK^2)=1-x^2/(2*(x/2)^2*6)=2/3. Наконец-то сумел дописать.