Начерти равнобедренный треугольник, чтобы АВ=ВС, проведи высоту ВН, высота перпендикулярна основанию АС, т. е. образует с нею прямые углы. А теперь приступим к доказательству. Рассмотрим треугольники АВН и НВС, 1) эти треугольники прямоугольные, т. к. ВН-высота, т. е. угол АНВ=углу ВНС=90град. 2) угол АВН=углу НВС, так как ВН- биссектриса, которая делит угол В пополам, 3) у них общая сторона ВН, значит рассматриваемые треугольники равны между собой по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне и двум прилежащим к ней углам. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, значит угол ВАС=углу ВСА, что и требовалось доказать.
ABCD - правильный тетраэдр, поэтому все его грани это правильные треугольники.
K - середина AC; KD = KB как медианы в равных и правильных треугольниках. KM⊥DB т.к. в равнобедренном треугольнике (ΔDKB), медиана опущенная на основание это и высота.
Про точку P: по условию P может так же лежать между С и K, но ответ будет тем же т.к. точка P не влияет на длину KM, и коэффициент подобия не изменится, только он будет для других треугольников.
ABCD - правильный тетраэдр, поэтому все его грани это правильные треугольники.
K - середина AC; KD = KB как медианы в равных и правильных треугольниках. KM⊥DB т.к. в равнобедренном треугольнике (ΔDKB), медиана опущенная на основание это и высота.
Найдём неизвестный катет в прямоугольном ΔDMK:
Рассмотрим ΔAMC: K, P∈AC; P∈q║KM; q∩AM=Q.
ΔMKA~ΔQPA по трём углам т.к. PQ║KM.
AK=KC - по условию. Пусть AK = 7x ⇒ AC = 14x.
CP:PA=10x:4x=5:2 ⇒ AP:AK=4x:7x=4:7, коэффициент подобия.
Найдём PQ через подобие треугольников.
ответ: 2√2.
Про точку P: по условию P может так же лежать между С и K, но ответ будет тем же т.к. точка P не влияет на длину KM, и коэффициент подобия не изменится, только он будет для других треугольников.